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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習提要概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習提要第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率1事件的關系A BA BABA BA AB 2運算規(guī)則 （1）AB B AAB BA（2）(A B)C A(B C)(AB)C A(BC)（3）(A B)C (AC)(BC)(AB)C (AC)(B C)（4）A B ABAB A B3概率P(A)滿足的三條公理及性質：（1）0 P(A) 1（2）P() 1（3）對互不相容的事件A1, A2, , An，有P(A ) P(A )（n可以取）kkk1k1nn（4）P() 0（5）P(A) 1 P(A)（6）P(A B) P(A) P(AB)，若A B，則P(

2、B A) P(B) P(A)，P(A) P(B)（7）P(A B) P(A) P(B) P(AB)（8）P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率（1）定義：若P(B) 0，則P(A| B) P(AB)P(B)（2）乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B1,B2, Bn為完備事件組，P(Bi) 0，則有（3）全概率公式：P(A) P(B )P(A| B )iii1n（4）Bayes 公式：P(Bk| A) P(Bk)P(A| Bk)P(B )P(A| B )iii1n7事件的獨立

3、性：A, B獨立 P(AB) P(A)P(B)（注意獨立性的應用）第二章隨機變量與概率分布1 離散隨機變量：取有限或可列個值，P(X xi) pi滿足（1）pi 0， （2）pii=11（3）對任意D R，P(X D) i:xiDpi2 連續(xù)隨機變量：具有概率密度函數(shù)f (x)，滿足（1）f (x) 0,（2）P(a X b) 3 幾個常用隨機變量名稱與記號兩點分布B(1, p)二項式分布B(n, p)分布列或密度-f (x)dx 1；baf (x)dx； （3）對任意aR，P(X a) 0數(shù)學期望方差P(X 1) p，P(X 0) q 1 pkP(X k) Cnpkqnk,k 0,1,2,

4、n，ppqnpnpqPoisson 分布P()P(X k) ekk!,k 0,1,2,1pq2p幾何分布G(p)P(X k) qk1p,k 1,2,均勻分布U(a,b)1f (x) , a x b，b af (x) ex, x 0a b2(b a)212指數(shù)分布E()112正態(tài)分布N(,)2f (x) 12e(x)222 24 分布函數(shù)F(x) P(X x)，具有以下性質（1）F() 0, F() 1； （2）單調非降； （3）右連續(xù)；（4）P(a X b) F(b) F(a)，特別P(X a) 1 F(a)；（5）對離散隨機變量，F(xiàn)(x) （6）對連續(xù)隨機變量，F(xiàn)(x) i:xixpxi；f

5、 (t)dt為連續(xù)函數(shù)，且在f (x)連續(xù)點上，F(xiàn)(x) f (x)5 正態(tài)分布的概率計算以(x)記標準正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)，則有（1）(0) 0.5； （2）(x) 1(x)； （3）若X N(,)，則F(x) (2x )；（4）以u記標準正態(tài)分布N(0,1)的上側分位數(shù)，則P(X u) 1(u)6 隨機變量的函數(shù)Y g(X)（1）離散時，求Y的值，將相同的概率相加；（2）X連續(xù)，g(x)在X的取值范圍內嚴格單調，且有一階連續(xù)導數(shù)，則fY(y) fX(g(y) | (g(y) |，若不單調，先求分布函數(shù)，再求導。112第三章第三章 隨機向量隨機向量1 二維離散隨機向量，聯(lián)合分布列P

6、(X xi,Y yj) pij，邊緣分布列P(X xi) pi，P(Y yj) p j有（1）pij 0； （2）pijij（3）pipij，p jpij1；ji2 二維連續(xù)隨機向量，聯(lián)合密度f (x, y)，邊緣密度fX(x), fY(y)，有（1）f (x, y) 0； （2）（4）fX(x) f (x, y) 1； （3）P(X,Y)G) f (x, y)dxdy；Gf (x, y)dy，fY(y) f (x, y)dx1,(x, y)G3 二維均勻分布f (x, y) m(G)，其中m(G)為G的面積0,其它4 二 維 正 態(tài) 分 布(X,Y) N(1,2,1,2,)， 其 密 度 函

7、 數(shù) （ 牢 記 五 個 參 數(shù) 的 含 義 ）22f (x, y) 12122(x 1)(y 2)(y 2)21(x 1)exp 22222 2(1)11212且2X N(1,12), Y N(2,2)；5 二維隨機向量的分布函數(shù)F(x, y) P(X x,Y y)有（1）關于x, y單調非降； （2）關于x, y右連續(xù)；（3）F(x,) F(, y) F(,) 0；（4）F(,) 1，F(xiàn)(x,) FX(x)，F(xiàn)(, y) FY(y)；（5）P(x1 X x2, y1 Y y2) F(x2, y2) F(x1, y2) F(x2, y1) F(x1, y1)；2F(x, y)（6）對二維連續(xù)

8、隨機向量，f (x, y) xy6隨機變量的獨立性X,Y獨立 F(x, y) FX(x)FY(y)（1）離散時X,Y獨立 pij pip j（2）連續(xù)時X,Y獨立 f (x, y) fX(x) fY(y)（3）二維正態(tài)分布X,Y獨立 0，且X Y N(12,12)7隨機變量的函數(shù)分布（1）和的分布Z X Y的密度fZ(z) （2）最大最小分布第四章 隨機變量的數(shù)字特征1期望(1) 離散時E(X) 22f (z y, y)dy f (x,z x)dxx piii，E(g(X) g(x )piii；3(2) 連續(xù)時E(X) xf (x)dx，E(g(X) g(x) f (x)dx；(3) 二維時E

9、(g(X,Y) g(xi, yj)pij，E(g(X,Y) i, jg(x, y) f (x, y)dxdy(4)E(C) C； （5）E(CX) CE(X)；（6）E(X Y) E(X) E(Y)；（7）X,Y獨立時，E(XY) E(X)E(Y)2方差（1）方差D(X) E(X E(X) E(X ) (EX)，標準差(X) （2）D(C) 0, D(X C) D(X)；（3）D(CX) C D(X)；（4）X,Y獨立時，D(X Y) D(X) D(Y)3協(xié)方差（1）Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)；（2）Cov(X,Y) Cov(Y, X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)；（3）Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)；（4）Cov(X,Y) 0時，稱X,Y不相關，獨立不相關，反之不成立，但正態(tài)時等價；（5）D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)4相關系數(shù)XY2222D(X)；Cov(X,Y)；有|XY|1，|XY|1 a,b, P(Y aX b) 1(X)(Y)kk5k階原點矩k E(X )，k階中心矩k E(X E(X)4