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1、1.3 矩形的性質和判定 1.3 矩形的性質和判定學習目標：1、學會識別矩形；2、掌握矩形的概念、判定和性質，會用矩形的性質和判定解決簡單的問題；3、會運用矩形的知識解決有關問題,重點：掌握矩形的性質，并學會應用難點：理解矩形的特殊性【知識梳理】1矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形2矩形的性質矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質，還具有自己獨特的性質： 邊的性質：對邊平行且相等 角的性質：四個角都是直角 對角線性質：對角線互相平分且相等 對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半點評：這兩條直角

2、三角形的性質在教材上是應用矩形的對角線推得，用三角形知識也可推得3矩形的判定判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定：對角線相等的平行四邊形是矩形判定：有三個角是直角的四邊形是矩形【例題精講】【矩形的判定】【例1】如圖，在四邊形中，求證：四邊形是矩形【解析】，在和中 ()，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形【例2】如圖，已知在四邊形中，交于，、分別是四邊的中點，求證四邊形是矩形 【解析】、分別是四邊的中點、為中位線且四邊形為平行四邊形，四邊形是矩形【例3】如圖，在平行四邊形中，是的中點，且，求證：四邊形是矩形【解析】四邊形是平行四邊形， 是的中點，在和中 ()，四邊形是矩形【例4】設凸四邊形的

3、4個頂點滿足條件：每一點到其他3點的距離之和都要相等試判斷這個四邊形是什么四邊形?請證明你的結論?！窘馕觥窟@個四邊形是矩形由已知得變換此式有得；得，故知是平行四邊形又得，因此，四邊形是矩形【例5】如圖，平行四邊形中，、分別是、的平分線，與交于，與交于，證明：四邊形是矩形【解析】四邊形為平行四邊形，、分別是、的平分線同理四邊形是矩形【例6】如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連結 、求證：、 如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論【解析】 、，是的中點， ，（2）四邊形是矩形，是的中點（利用全等），四邊形是平行四邊形又 四邊形是矩形【例7】已知，如圖，在中，是

4、邊上的高，是的外角平分線，交于，試說明四邊形是矩形 【解析】，又，又，是平行四邊形，四邊形是平行四邊形又，平行四邊形為矩形本題也可先說明，再說明四邊形是平行四邊形【例8】如圖所示，在中，將繞點順時針方向旋轉得到點在上，再將沿著所在直線翻轉得到連接 、 求證：四邊形是菱形； 、連接并延長交于連接，請問：四邊形是什么特殊平行四邊形？為什么？【解析】 是由繞點旋轉得到， 是等邊三角形 又是由沿所在直線翻轉得到，點、三點共線是等邊三角形 四邊形是菱形 四邊形是矩形 由可知：是等邊三角形，于，又，四邊形是平行四邊形，而 四邊形是矩形【例9】 如圖，在中，于，于，的兩條高相交于，求的長 【解析】過作于，連

5、接、，又，四邊形為平行四邊形，又，且四邊形為矩形，又四邊形為平行四邊形，即，【例10】已知，如圖矩形中，延長到，使，是中點求證：【解析】延長交于，連結四邊形是矩形，是中點，在和中，【矩形的性質及應用】【例11】如圖，在矩形中，點是上一點，垂足為.線段與圖中的哪一條線段相等？先將你猜想出的結論填寫在下面的橫線上，然后再加以證明。即 .(寫出一條線段即可)【解析】連接.四邊形是矩形，.又，又，.【例12】如圖，在矩形中，分別是上的點，且. 求證：.【解析】四邊形是矩形.在和中，又，.【例13】如圖，矩形的兩條對角線相交于點，則矩形的對角線的長是（ ）A B C D【解析】，為等邊三角形，【例14】

6、矩形的對角線、交于，如果的周長比的周長大，則邊的長是 【解析】，【例15】如圖，矩形中，對角線、交于，于，則_【解析】 ，【例16】 如圖在矩形中，已知，是邊上任意一點，、分別是垂足，求的值【解析】法一：作于，于，則又易證，從而，所以而，則在中，根據(jù)面積公式有，則， 法二：利用面積相等，連接并作， 法三：延長過點作的延長線，垂足為，過點作于易證，由矩形可知，【例17】如圖，在矩形ABCD中，BC=2，AEBD于E，若BAE=30，則 【解析】 ，【例18】已知，矩形ABCD和點P，當點P如圖位置時，求證：【解析】如圖，過點作，分別交、于，兩點，【例19】已知矩形和點，當點在矩形內時，試求證：【

7、解析】 過點作垂直，分別交、于、兩點 又【例20】如圖所示，矩形內一點到、的長分別是、，求的長【解析】 過點分別作、的垂線，垂足分別為、，顯然，都是矩形，則，另解：如圖所示，連接、交于點，連接因為，故（中線定理），而，故，則【例21】 如圖，是矩形的對角線交點，過點作分別交、于、，若，求四邊形的面積【解析】 由為矩形可知，又，又， 故從而可知為菱形，又，在直角中，由勾股定理有，解得故四邊形的面積為()【例22】如圖，將矩形沿翻折，使點落在點處，連接、，過點作，垂足為、判斷是什么圖形,并加以證明；、若，求的長；、四邊形中，比較與的大小【解析】 等腰梯形；易證得，結論易得 過點作，垂足為 為等腰梯

8、形 ， ， ， 由可知， 【例23】如圖所示，在矩形和矩形中，若，求證： 【解析】 ，是平行四邊形又，是菱形連接，則，從而證得，【例24】矩形中，延長到，使，是的中點，求證： 【解析】 解法一：如圖，連接，是的中垂線又在中，為斜邊的中點，又，而，又，解法二：如圖，連接交于，連接則，又，而，又，是直角三角形故解法三：如圖，延長、交于，連接，又，是的中垂線解法四：如圖，延長、交于，連接，又，又，是的中垂線【例25】已知，如圖，矩形中，于，平分交于，求證：【解析】 連結交于，四邊形為矩形，平分，【例26】在矩形中，點是邊上一點，連結，且，是的平分線點從點出發(fā)沿射線運動，過點作交直線于點 當點在射線上運動時（如圖1），請你猜想三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想； 若，設長為，以三點為頂點所構成的三角形面積為，求與的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）； 在的條件下，當點運動到線段的中點時，連結，過點作，垂足為，交于點（如圖2），求線段的長 【解析】 當點在線段上時，四邊形是矩形，是的平分線，過點作，垂足為，當點在線段的延長線上時，猜想：證明從略 由題意知， 當點在線段上時（如圖3）過點作于點，則由得 當點在線段的延長線上時（如圖4）過點作交延長線于點，過點作于點，同理可得， 連接交于點（如圖5）點是線段中點， ， 第 13 頁