第十四第十四章章 整式的乘法與因式整式的乘法與因式分解分解 14.3 因式分解因式分解 14.3.1 提公因式法提公因式法 目 錄CONTENTS1 學(xué)習(xí)目標(biāo)2 新課導(dǎo)入3 新課講解4 課堂小結(jié)5 當(dāng)堂小練6 拓展與延伸7 布置作業(yè)1.1.了解并掌握因式分解的定義及意義了解并掌握因式分解的定義及意義.（重點）（重點）2.2.熟練運用提公因式法進(jìn)行因式分解熟練運用提公因式法進(jìn)行因式分解.(難點）難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入思 考請把下列多項式寫成整式的乘積的形式：(1)x2+x;(2)x2-1.根據(jù)整式的乘法，可以聯(lián)想到：(1)x2+x=x(x+1);(2)x2-1=(x+1)(x-1).這樣的運算是什么，有什么計算方法？新課講解 知識點1 因式分解定義：定義：把一個多項式把一個多項式化成幾個整式的積化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的形叫做這個多項式的因式分解因式分解，也叫做把這個多項式，也叫做把這個多項式分解因式分解因式.可以看出，因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即可以看出，因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即新課講解 知識點1 因式分解 (1)因式分解是一種恒等變形，整式乘法是一種運算，故因式分解與整式乘法不是互逆運算，只是方向相反的變形；(2)因式分解不針對單項式，只針對多項式，而且是針對多項式的整體，而不是部分.因式分解的結(jié)果中的每個因式都是整式且不能再分解.新課講解 (1)(1)因式分解的結(jié)果一定是因式分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積幾個整式的乘積的的形式，乘積中形式，乘積中相同因式的積要寫成冪相同因式的積要寫成冪的形式；的形式；(2)(2)分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能不能再分解再分解為為止止.重 點 知識點1 因式分解新課講解練一練1判斷下列式子中哪些是因式分解？是是是是否否否否3x+6y=3(x+2y);4m2n3+2mn2=2mn2(2mn+1);(x+2y)2=x2+4xy+4y2;(a+4)(a-4)=a2-16.新課講解練一練2下列變形屬于因式分解的有（）8xy3=2xy4y2;(x+5)(x-5)=x2-25;x2+2x-3=x(x+2)-3;x2y+xy2=xy(x+y).A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 分析：分析：要判斷一個式子從左到右的變形是否為因式分解，關(guān)鍵是看這個變形是否把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式.新課講解練一練2下列變形屬于因式分解的有（）8xy3=2xy4y2;(x+5)(x-5)=x2-25;x2+2x-3=x(x+2)-3;x2y+xy2=xy(x+y).A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 中等號左邊不是多項式，所以不是因式分解;中 不是整式，所以不是因式分解;是整式的乘法，所以不是因式分解;中等號的右邊不是積的形式，所以不是因式分解;符合因式分解的概念，是因式分解.分析：分析：新課講解 知識點2 用提公因式法因式分解公因式：一個多項式中各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.公因式的確定：(1)確定公因式的系數(shù)：當(dāng)多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)就是多項式中各項系數(shù)的最大公因數(shù)；當(dāng)多項式中各項系數(shù)都是分?jǐn)?shù)時，公因式的系數(shù)為分?jǐn)?shù)，而且分母取各項系數(shù)中分母的最小公倍數(shù)，分子取各項系數(shù)中分子的最大公因數(shù)；新課講解 知識點2 用提公因式法因式分解(2)確定相同字母：公因式應(yīng)取多項式各項中的相同的字母；(3)確定公因式中相同字母的指數(shù)：取相同字母的指數(shù)的最小值作為公因式中此字母的指數(shù)；(4)確定公因式：由步驟(1)(3)寫出多項式的公因式.新課講解 知識點2 用提公因式法因式分解 確定公因式的示例：取相同字母取相同字母m中指中指數(shù)最低的數(shù)最低的m2取相同字母取相同字母n中指中指數(shù)最低的數(shù)最低的n取取2 2和和4 4的最的最大公約數(shù)大公約數(shù)2 2公因式公因式2m2n新課講解 (1)(1)公因式必須是公因式必須是多項式中各項都含有多項式中各項都含有的公共的因式，只在的公共的因式，只在某一項或某些項中存在而在其他項中沒有的因式，不能作為公因式某一項或某些項中存在而在其他項中沒有的因式，不能作為公因式的一部分；的一部分；(2)(2)公因式可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式，也可以是多項式公因式可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式，也可以是多項式的冪的形式；的冪的形式；(3)(3)若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式因式統(tǒng)一成相同的因式；若多項式各項中；若多項式各項中含有含有相同相同的多項式因式，的多項式因式，則則應(yīng)將其看成一個整體，不要拆開應(yīng)將其看成一個整體，不要拆開.重 點 知識點2 用提公因式法因式分解新課講解 知識點2 用提公因式法因式分解定義：定義：一般地，如果多項式的一般地，如果多項式的各項有公因式各項有公因式，可以把這個公因式，可以把這個公因式提取提取出來，將多項式寫成公因式與另外一個因式的出來，將多項式寫成公因式與另外一個因式的乘積乘積的形式，的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法這種分解因式的方法叫做提公因式法.使用提公因式法分解因式時，所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不再含有公因式.新課講解 知識點2 用提公因式法因式分解提公因式法的一般步驟：(1)確定公因式：先確定系數(shù)，再確定字母和字母的指數(shù)；(2)提公因式并確定另外一個因式：用多項式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一個因式；(3)把多項式寫成這兩個因式的積的形式.新課講解(1)(1)提公因式法的依據(jù)是提公因式法的依據(jù)是乘法分配律的逆用乘法分配律的逆用，關(guān)鍵是找準(zhǔn)，關(guān)鍵是找準(zhǔn)公因式；公因式；(2)(2)當(dāng)多項式首項系數(shù)是當(dāng)多項式首項系數(shù)是負(fù)數(shù)時負(fù)數(shù)時，一般應(yīng)先提出，一般應(yīng)先提出“-”號，但要注意，號，但要注意，此時括號內(nèi)各項都要此時括號內(nèi)各項都要改變符號改變符號.(3)(3)多項式有幾項，提取公因式后，各項的剩余部分組成的新多項多項式有幾項，提取公因式后，各項的剩余部分組成的新多項式就有幾項，式就有幾項，不能漏項；不能漏項；(4)(4)當(dāng)公因式與多項式中某一項相同時，提取公因式后該項當(dāng)公因式與多項式中某一項相同時，提取公因式后該項剩余的剩余的項為項為“1”“1”，一定不要漏項，一定不要漏項.重 點 知識點2 用提公因式法因式分解 重 點新課講解練一練3將下列各式分解因式：(1)ax+ay;(2)8mn2+2mn;(3)2a(y-z)-3b(z-y).解：解：(1)(1)ax+ay=a(x+y);(2)8mn2+2mn=2mn(4n+1);(3)2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(2a+3b)(y-z).課堂小結(jié)因因式式分分解解因式分解的定義因式分解的定義提公因式法分解因式的方法和步驟提公因式法分解因式的方法和步驟當(dāng)堂小練1.下列等式從左到右是因式分解的有()(1)x2-x=x(x-1);(2)a(a-b)=a2-ab；(3)a2-9=(a+3)(a-3)；(4)a2-2a+1=a(a-2)+1；A.1個B.2個C.3個D.4個B當(dāng)堂小練2.分解因式：3a2(x-y)3-4b2(y-x)2.解：原式解：原式=3a2(x-y)(x-y)2-4b2(x-y)2 =(x-y)23a2(x-y)-4b2 =(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)當(dāng)堂小練解：解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3 =(x-3y)27y+2(x-3y)=(x-3y)2(2x+y)=126=63.已知 求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.2x+y=6，x-3y=1，拓展與延伸已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.解析：解析：由條件等式求式子的值的通法是根據(jù)已知條件求出式子中字母由條件等式求式子的值的通法是根據(jù)已知條件求出式子中字母的值，然后代入求值的值，然后代入求值.但是本題中但是本題中m m，n n不容易求出，可以不容易求出，可以先分解因式，先分解因式，將所求整式整理成只含將所求整式整理成只含m m-4-4n n和和mnmn的形式，然后的形式，然后整體代入求值整體代入求值即可即可.解：解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2.因為因為m-4n=-3，mn=4，所以原式所以原式=-4(-3)2 =-49=-36.2023/2/2424謝謝觀賞勤能補(bǔ)拙，學(xué)有成就！