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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上梯形常用輔助線的做法常見的梯形輔助線基本圖形如下:1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰、兩底角等轉移到一個三角形中,同時還得到平行四邊形【例1】 已知：如圖,在梯形ABCD中,.求證：.分析:平移一腰BC到DE,將題中已知條件轉化在同一等腰三角形中解決,即AB=2CD.證明：過D作 ,交AB于E. AB平行于CD,且 ,四邊形 是菱形. 又 為等邊三角形. 又 , .【例2】如圖,在梯形ABCD 中,ADBC , E、F 分別是AD 、BC 的中點,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF 分析：由條件 ,我們通過平移AB 、DC ；構造直角三角形MEN ,使EF

2、 恰好是MEN 的中線解：過E 作EMAB ,EN DC ,分別交BC 于M 、N , , 是直角三角形, , , . 、 分別是 、 的中點, 為 的中點, . 變式：如圖1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。圖1析解：過點B作BM/AD交CD于點M，則梯形ABCD轉化為BCM和平行四邊形ABMD。在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值范圍是：54<BC<54，即1<BC<9。2.延長梯形的兩腰,使它們交于一點,可得到兩個相似三角形或等腰三角形、直角三角形等進一步解決問題【例3】.如圖

3、,在梯形 中, , ,梯形 的面積與梯形 的面積相等求證： . 分析：條件是兩個梯形的面積相等,而結論是三線段長的平方關系,如果延長兩腰交于一點,就可得到三個相似的三角形,再利用相似三角形的面積比與相似比的關系變形就可得出結論證明：延長 、 使它們相交于 點, , . 同理, 故得 變式1：如圖5，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。圖5析解：延長BA、CD交于點E。在BCE中，B=50°，C=80°。所以E=50°，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3變式2：如

4、圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論. 變式3：（延長兩腰）如圖，在梯形中，、為、的中點。3.從梯形上底的兩端向下底引垂線作高,可以得到一個矩形和兩個直角三角形然后利用構造的直角三角形和矩形解決問題例4.如圖,在梯形 中,.求證：.分析:過上底向下底作兩高,構造Rt,然后利用兩三角形全等解決問題.證明：分別過D、C、作AB的垂線,垂足分別為E、F. , .又 , .變式：如圖7，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，對角線ACBD，垂足為F，過點F作EF/AB，交AD于點E，求證：四邊形A

5、BFE是等腰梯形。圖7析證：過點D作DGAB于點G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因為AB=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。如圖8，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。 圖8析證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因為AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BD>AC4.平移對角線一般是過上底的一個端點作一條對角線的平行線,與另一底的延長線相交

6、,得到一個平行四邊形和三角形,把梯形問題轉化為平行四邊形和三角形問題解決【例5】.如圖,等腰梯形 中, , ,且 , 是高, 是中位線,求證： 分析：由梯形中位線性質得 ,欲證 ,只要證 過 點作 ,交 的延長線于 ,就可以把 、 和 移到三角形 中,再證明等式成立就簡單多了證明：過 點作 交 的延長線于點 ,則四邊形 是平行四邊形 , 四邊形 是等腰梯形, , 又 , , ,   . , 又 , . 【例6】.已知：如圖,在梯形中, .求證：梯形 是等腰梯形.證明：過D作 ,交BA延長線于E.則四邊形 是平行四邊形. 又 , 于是,可得 梯形ABCD是等腰梯形.變式1：如圖3，在等

7、腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：ACBD。圖3析解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在ACE中，從而ACCE，于是ACBD。變式2：（平移對角線）已知梯形ABCD的面積是32，兩底與高的和為16，如果其中一條對角線與兩底垂直，則另一條對角線長為_變式3:如圖4，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。圖4析解：過點D作DE/AC，交BC的延長線于點E，

8、則四邊形ACED是平行四邊形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。5.遇到梯形一腰中點的問題可以作出梯形的中位線,中位線與上、下底都平行,且三線段有數(shù)量關系. 或利用“等積變形”,連結梯形上底一端點和另一腰中點,并延長與下底延長線交于一點,構成三角形解決問題 【例7】.已知：如圖4,在梯形 中, 是 的中點,且 .求證：.證明：取 的中點F,連結FE.則 ,. 【例8】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E為AB中點,且ADBC=DC , 求證：DEEC,DE平分ADC,CE平分BCD 證法1：取DC中點F,連結EF,E為AD中點,則EF為梯形的中位線

9、 EFADBC EF=(ADBC) 1=5,3=6 DC=ADBC EF=DC=DF=CF 1=2,3=4 2=5,4=6 1324=180° 13=90° DEC,DE平分ADC,CE平分CD 證法2：延長CE與DA延長線交于一點F,過程略證法3：在DC上截取DF=AD,連結AF、BF、EF解決.變式1：如圖9，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點，AOD=90°，求證：ABCD=AD。圖9析證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90°，AE=DE所以由、得ABCD=AD。變式

10、2：在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中點，連接AE和BE，求AEB=2CBE。解、分析：分別延長AE與BC ，并交于F點，從而等到ADE與FCE是全等的，在利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以求出結論”。解：分別延長AE與BC ，并交于F點BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(兩直線平行內(nèi)錯角相等) AED=FEC （對頂角相等）DE=EC （E點是CD的中點）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在FEB中 EBF=FEBAE

11、B=EBF+ FEB=2CBE6.已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。例10如圖10，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：（1）EF/AD；（2）。圖10析證：連接DF，并延長交BC于點G，易證AFDCFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線從而EF/BG，且因為AD/BG，所以EF/AD，EF7.當遇到以上的梯形輔助線添加后不能解決問題時,可以特題特解,結合具體問題中的具體條件,尋求特殊的方法解決問題.比如可將對角線繞中點旋轉 、利用一腰中點旋轉、將梯形補成平行四邊形或

12、三角形問題.【例9】.已知：如圖5,在梯形ABCD 中, M、N分別是BD 、AC 的中點.求證： .證明：連結并延長 ,交 于E.則 . 又N是AC的中點, ,故 取一腰的中點,連結頂點和這個中點并延長與對邊的延長線相交,可得兩個全等三角形【例10】.如圖,梯形 中, , 、 分別平分 和 , 為 中點,求證： 分析：要證明 ,可以利用 為 中點,延長 與 的延長線交于 , ,得到 ,再證明 即可證明：延長 、 交于點 F,顯然 , . 又 , , , , 是線段 的垂直平分線 , . 評注：添加輔助線后,溝通了 、 與 的聯(lián)系,由線段垂直平分線性質得出 ,從而問題獲得解決利用一腰中點旋轉

13、【例11】.已知：如圖,在梯形 中, 是CD的中點.求證：. 證明：延長AE、BC相交于點F.易證. , , 即 .BE是等腰 底邊上的高. .說明：在圖5中, 相當于由 繞點E旋轉 得到；在圖6中, 是由 繞點E旋轉 得到.【例12】.如圖,梯形 中, , 為腰 的中點,求證： .分析： 與梯形ABCD的面積關系不明顯,如果利用梯形助特點把它補成如圖7的平行四邊形,它們之間的關系就清晰了梯形補成平行四邊形,各種關系明顯、直觀,解題思路清晰證明：延長 ,使 ,延長 ,使 ；則 ,則四邊形 是平行四邊形 為 的中點,連結 , 與 交于點 .連結 、 ,則 . , 是 中點, 為 中點且是 中點四邊形 是平行四邊形, , 【模擬試題】1. 若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為_cm. 2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60°，AD2，BC8，則此等腰梯形的周長為（ ）A. 19B. 20C. 21D. 223.