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1、精選考試學習資料，如有需要請下載-2020年高中數(shù)學必修五全套教案（精品）精選考試學習資料，如有需要請下載-2020年高中數(shù)學必修五全套復習講義（精品）探索研究在 初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角 形中，角與邊的等式關系。如圖 1 . 1-2 ,在 Rt ABC 中，設 BC=a, AC=b, AB=c, 根 據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 a c sin A , b c sinB ,又 sinC 1 c c , 貝I a sin A b sinB c sinC c b c從而在直角三角形ABC 中，a sin A b sin B c sinC C a B （圖1

2、. 1-2）思考：那么對于任意的三角形，以上關系 式是否仍然成立？（由學生討論、分析） 可分為銳角三角形和鈍 角三角形兩種情況： 如圖1. 1-3,當ABC是銳角三角形時，設 邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD二asinB b si nA ,則 a sin A b sin B , C 同理可得 c sinC b sin B5 / 6從而 a sin A b sin B c sinC A c B (圖 1. 1-3) 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等， 即 理解定理a b c sin A sin B sinC (1)正弦定理說明同 一三角形中，邊與其對角的

3、正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)， 即存在正數(shù) k 使 a k sinA , b k sinB , c k sinC ；(2) asin A b sin B c sinC 等價于 a sin A b sin B , c sinC b sin B , a sin A c sinC從而知正弦定理的基本作用為: 己知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a b sinA sin B ； 己知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他 角的正弦值， 如sinA a b sin B 。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作 解三角形。例題分析例1.在ABC中，己知A32. 00 ,

4、B81. 80 , a42. 9 cm,解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,C 1800 (A B) 1800 (32. 00 81.80)66. 20 ； 根據(jù)正弦定理， b asin B sin A 42. 9sin81. 80 sin32. 00 80. 1 (cm)； 根據(jù)正弦定理， c asinC sin A 42. 9sin66. 20 sin32. 0074. 1 (cm). 評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2.在ABC中，己知a20cm, b28 cm, A400 ,解三角形(角 度精確到10 ,邊長精確到1cm)。解：根據(jù)正弦定理，sin B bsin a A

5、28sin400 20 0. 8999. 因為 00 < B <1800 ,所以 B640 ,或 BU60. (1)當 B640 時， C 1800 (A B) 1800 (400 640)760 , c asinC sin A 20sin760 sin 40030 (cm).當 B1160 時， C 1800 (AB)1800 (400 1160)240 , c asinC sin A 20sin 240 sin 400 13(cm).補充練習已知 ABC 中，sinA:sinB :sinC 1:2:3,求 a:b:c (答案：1： 2： 3) (2)正弦定理的應用范圍：己知 兩

6、角和任一邊，求其它兩邊及一角； 己知兩邊和其中一邊對角， 求另一邊的對角。聯(lián)系己經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊co由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A 如圖1. 1-5,設 CtmBr r a , CuuArr b , AuuBrr c，那么r c r a r b ，貝lj r b r cr c 2 r cr c rr ab rr a b rr rr rr ar a 2abrb2 b r2ar2a b b C r a B 從而 c2 a2 b2 2ab cosC （圖 1. 1-5） 同理可證 a2 b2 c2

7、 2bc cosA b2 a2 c2 2ac cosB 于是得到 以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方 的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 a2 b2 c2 2bc cosA b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三 個量，可以 求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出） 從余弦定理，又可得到以下推論：cos A b2 c2 2bc a2 cosB a2 c2 b2 2ac cosC b2 a2 2ba c2理解定理從而知余弦定理及其推論的基本作用為：己知三角 形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；己知三角形的三 條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦 定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理 之間的關系？