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1、、基本不等式的基礎(chǔ)形式1.22_a b 2ab ,其中 a, b2.a b 2. ab ,其中 a,b3.2 Y?？疾坏仁剑篴2二、常見問題及其處理辦法問題1 :基本不等式與最值解題思路:(1)積定和最?。喝?ab(2)例題高中數(shù)學(xué)基本不等式問題求解十例R,0,當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號成立。,當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號成立。ab 1、a2，其中a,b1.b0,當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號成立。是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)，a bmin2 .ab 。其中a,b 0,和定積最大：若 a b是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)，abmax2,其中a,b Ro1 ：若實(shí)數(shù)a, b滿足2a2b1 ,則a b的最大值是2a 2

2、b解析：很明顯，和為定，根據(jù)和定積最大法則可得：2a 2b a b 2,當(dāng)且僅當(dāng)a b1時(shí)取等號。變式：函數(shù)y ax 1(a 0,a 1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)在直線mxny1上，則mn的最大值為解析：由題意可得函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)A 1,1 ,將點(diǎn)A 1,1代入直線方程mx ny顯，和為定，根據(jù)和定積最大法則可得:2m n1出口小出mn -,當(dāng)且僅當(dāng)241 , _一時(shí)取等號。2例題2:已知函數(shù)12x 2，則f x取最小值時(shí)對應(yīng)的 x的值為解析:很明顯積為定，根據(jù)積定和最小法則可得：2x 龍 22x p171，當(dāng)且僅當(dāng)2x12x 2 x1時(shí)取等號。變式:已知x一 一 1，一，2 ,則x的最小值為x

3、 2解析：由題意可得x 2 0, x 2明顯，積為定，根據(jù)和定積最大法則可得：x2x 22 J x 22,當(dāng)且僅當(dāng)x 2x 2 1 x1時(shí)取等號，此時(shí)可x 2,x 2x 2得 x0。x 2x例題3:若對任意x>0, ,+ 3 Q恒成立，則a的取值范圍是 .解析：分式形式的不等式，可以考慮采用常數(shù)分離的方法。xx2 c , a a2cx 3x 1x 3x 1 max解法1：將，觀察分母，很明顯可以得到積為定值,x-2化簡可得x2 3x 1根據(jù)積定和最小的法則可得:2. x1c，2,當(dāng)且僅當(dāng) x1, 一x x 1時(shí)取等 x號。故而可得分式的,一 11分母x I 3 501xx 1 3xx2x

4、 1 3x max,因此可得:xx1一一1解法 2:將一2化間可得 一2 x0,令 fx x - x 0 ,這是一個(gè)對x 3x 1x 3x 11xx 3x1勾函數(shù)，故而可得 f x x f 1x八 一，1八2。故而分母x -3f xx3 5，代入分式函數(shù)取倒數(shù)可得0x2x 1 3xmax問題2: “1”的代換解題思路：根據(jù) f x m f x m 0 ,對所求內(nèi)容進(jìn)行乘除化簡即可。 m1 4yo例題4：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿足一 一 1，且不等式x -<m2 3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 x y4y14x14，一 14,r y4xy，一 斛析：由題息可信 一 1,左邊乘以一一1可得：x

5、,化間可得：x yx y41x 1 1 y-,很明顯-y-這中積為定值，根據(jù)積定和最小的法則可得：4 x y4x y4x y4。4x4x y4xy 4x2 ,當(dāng)且僅當(dāng) 14x y2 , 一 一 r y 14時(shí)取等號。故而可得x-84 x y不等式x3m有解，亦即m2 3mmin故而可得4,變式:12x y2,則4x解析:2x y4x4x3y12x y4x4x3y2x 2y2x y小法則可得2x 2y2x y24 ,亦即m 3m 4 0 ,解得m 4或者3y的最小值為3y ,化簡題干條件可得12x42x 2y2乘以所求內(nèi)容可得:x亦即03時(shí)取等號。22x 2y23y12x y42x 2y2xy

6、2x2y，化簡后可得:4 2x y-4 12x 2y2,很明顯2x 2V2x y4 2x v中二者積為定值,2x 2y根據(jù)積定和最4 2x y2x 2y此時(shí)可得問題3:方程中的基本不等式2 2x 2y 2x y4x 3y min解題思路：將需要利用不等式的項(xiàng)移到方程的一邊,4 2x y2x 2y4,當(dāng)且僅當(dāng)2x 2y2x y利用基本不等式求解即可。例題5: （2015湖南高考）若實(shí)數(shù)a, b滿足1+2=強(qiáng)，則ab的最小值為解析:由題意可知可以利用基本不等式，根據(jù)基本不等式可得:1a22 b2 2ab2一 b 2 a時(shí)取等號，化簡后可得：ab 2亞，此時(shí)b12“52；變式:若 lg(3x)+lg

7、y= lg(x+ y+1),則 xy 的最小值為解析:將題干條件化簡可得：lg 3x y 1g x y 1 3xy x4 2x y-2 ，2x 2y1 ,由題意需要求解xy ,故而可知利用不等式x y 2歷，將條件化簡可得：3xy 1 x y 2jxy當(dāng)且僅當(dāng)x y時(shí)等號成立，化2簡上式可得3xy 1 267 03。面 1 JXy 10jxy 1 xy 1 ,此時(shí)x y 1問題4:含參基本不等式問題解題思路：利用含參不等式的解法求解即可。a2 2a 2 例題6:已知a一絲一Y 1對于任意的 x x1,恒成立，則（A. a的最小值為 3B . a的最小值為4C.a的最大值為2D. a的最大值為4

8、解析：由題意可知參數(shù)為a,將自變量移項(xiàng)可得:2a可知等式右側(cè)經(jīng)配湊可得積為定值，根據(jù)積定和最小可得:x 1 x 3時(shí)取等號，此時(shí)可得x 1,恒成立可得:a2 2a 2變式6:已知 a>0, b>0,解析：由題意可知參數(shù)為m,minmin5。4一 ，x ,觀察等式右側(cè),x 12.x42ax 14,當(dāng)且僅4x對于任意的x 1221信 m 8m a b2a2a b8m恒成立，則m的取值范圍是將雙自變量a、b移項(xiàng)可得：m28m2ab恒成立，故而可將不等式右側(cè)化簡可得2a2bmin2a2a,很明顯積b為定值，根據(jù)積定和最小法則可得:2b 2a 2bT T 2 a2ab4,當(dāng)且僅當(dāng)2b2abb

9、 1時(shí)取等1-2a b b代入不等式中可得8m9化簡為0解不等式min可得1 m9。問題5:不等式與其他問題結(jié)合（向量與不等式）例題7:已知uuuOAuuu uuraOB bOC (a 0,b 0),且A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上,的最小值為解析：由三點(diǎn)共線可得a b觀察形式采用 “1的代換，故而11.a b 11 a b b aa b1a b等式右側(cè)積為定值,故而利用積定和最小法則可得:bab a2,當(dāng)且僅當(dāng)- a時(shí)取等號。故而可得3。（不等式與解析幾何）例題8：若直線ax by0)被圓x2 y22x4y ,1得的弦長為4,則1a1 ，一，的最小值為 b解析：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得4,根據(jù)弦長

10、為可得直線經(jīng)過圓心。將圓心1,2代入直線方程可得a 2b 2。觀察求解形式可得采用 “1的代換方法,2b 1 1簡可得- a2b ab很明顯積為定，根據(jù)積定和最小法則可得:2b2舟2日當(dāng)且僅當(dāng)2b2,2 21時(shí)取等號，故而可得 -2 、2a3 2.23x（基本不等式與線性規(guī)劃） 例題9：設(shè)x, y滿足條件 x0，若目標(biāo)函數(shù)z axby (a 0,b 0)0,y一 一 一3 2的最大值為12,則三 一的最小值為 a b解析：作出可行域如圖所示：故而可得zax+by在點(diǎn)H 4,6取最大值，即4a6b122a 3b6,由題意可得采用“ 1的代換求解。3b9b 4a12 觀察分子可得分子積為定值,定和

11、最小法則可得:9b4a219b 4a9b12,當(dāng)且僅當(dāng) a4a2時(shí)取1根據(jù)積.一 一 3等號，故而可得3a（不等式與解三角形）例題9b 4a127: ?角？ ？ ？酌對邊分別為? ? ?且？ + ? . ?+ ? 0.(1)求角？勺大?。?2)若？?= v3,求？2?腦最大值.(3)求 ABC周長的最值。解析：(1)由題意與余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA,221b c bc ,解得 cos A -,故而 A 一23(2)由余弦定理可得ab2bc 3,故而bc3 b2 c22 卜？,由基本不等式 ab可得2bc 3 b2 c2 2bcbc當(dāng)且僅當(dāng)b cJ3時(shí)取“二號。故而可得角形的面積1S abc bcsin A2,3沔。(3)由余弦