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1、3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理(一)31空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示32空間向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量基本定理.2.了解基底、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫(xiě)出向量的坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示標(biāo)準(zhǔn)正交基有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量，記作i，j，k空間直角坐標(biāo)系以i，j，k的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxiyjzk，則把x，y，z稱(chēng)作向量p在單位正交基底i，j，k下的坐標(biāo)，記

2、作p(x，y，z)知識(shí)點(diǎn)二空間向量基本定理思考平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？答案如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中，不共線(xiàn)的e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底梳理(1)空間向量基本定理?xiàng)l件三個(gè)不共面的向量a，b，c和空間任一向量p結(jié)論存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc(2)基底條件：三個(gè)向量a，b，c不共面結(jié)論：a，b，c叫作空間的一個(gè)基底基向量：基底中的向量a，b，c都叫作基向量1空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示()2若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則a，b，c全不是零向量()

3、3如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有a與b共線(xiàn)()4任何三個(gè)不共線(xiàn)的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底()類(lèi)型一基底的判斷例1下列能使向量，成為空間的一個(gè)基底的關(guān)系式是()A.B.C.D.2MC(2)設(shè)xab，ybc，zca，且a，b，c是空間的一個(gè)基底，給出下列向量：a，b，x；b，c，z；x，y，abc其中可以作為空間的基底的有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D0個(gè)考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基底的判斷答案(1)C(2)B解析(1)對(duì)于選項(xiàng)A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四點(diǎn)共面知，共面；對(duì)于選項(xiàng)B，D，可知，共面，故選C.(2)均可以作為空間的基底，故選B.反思與感悟基

4、底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線(xiàn)性表示，則不能構(gòu)成基底假設(shè)abc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共面，能作為基底跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a，b，c是不共面的三個(gè)非零向量，則可以與向量pab，qab構(gòu)成基底的向量是()A2aB2bC2a3bD2a5c答案D(2)以下四個(gè)命題中正確的是()A基底a，b，c中可以有零向量B空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底CABC為直角三角形的充

5、要條件是0D空間向量的基底只能有一組考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基底的概念答案B解析使用排除法因?yàn)榱阆蛄颗c任意兩個(gè)非零向量都共面，故A不正確；ABC為直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正確；空間基底可以有無(wú)數(shù)多組，故D不正確類(lèi)型二空間向量基本定理的應(yīng)用例2如圖所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是ABC，OBC的重心，設(shè)a，b，c，D為BC的中點(diǎn)試用向量a，b，c表示向量和.考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基本定理解因?yàn)椋?，又D為BC的中點(diǎn)，所以()，所以()()()(abc)又因?yàn)椋?)(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.反思與感悟用基底表示

6、向量時(shí)，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；若沒(méi)給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求跟蹤訓(xùn)練2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基本定理解(1)如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.類(lèi)型三空間向量的坐標(biāo)表示例3(1)設(shè)e1，e2，e3是空間的

7、一個(gè)單位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，則a，b的坐標(biāo)分別為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案(4，8,3)，(2，3,7)解析由于e1，e2，e3是空間的一個(gè)單位正交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)(2)已知a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)解因?yàn)閍(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，設(shè)ae1e2e3，即(3,4,5)(2，3，3)，所以解得所以a沿e1，e2，e3的正交分解為ae1e2e3.反思與感

8、悟用坐標(biāo)表示空間向量的步驟跟蹤訓(xùn)練3(1)在空間四邊形OABC中，a，b，c，點(diǎn)M在OA上，且OM2MA，N為BC的中點(diǎn)，在基底a，b，c下的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案解析OM2MA，點(diǎn)M在OA上，OMOA，()abc.在基底a，b，c下的坐標(biāo)為.(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PAAD1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求向量的坐標(biāo)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)解因?yàn)镻AADAB1，所以可設(shè)e1，e2，e3.因?yàn)?)()e3e2，所以.1已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸，y軸，z軸的正方向上的單位向量，

9、且ijk，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不確定考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案D解析由ijk只能確定向量(1,1，1)，而向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)未知，故終點(diǎn)B的坐標(biāo)不確定2在下列兩個(gè)命題中，真命題是()若三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面；若a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，而cab(，R且0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底A僅B僅CD都不是考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基底的概念答案A解析為真命題；中，由題意得a，b，c共面，故為假命題，故選A.3已知點(diǎn)A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中aij，bjk，cki

10、，則點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案A解析設(shè)點(diǎn)A在基底a，b，c下對(duì)應(yīng)的向量為p，則p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)為(12,14,10)4若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，則，的值分別為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)空間向量在單位正交基底下的坐標(biāo)答案，1，解析d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，5如圖，已知PA平

11、面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為PDC的重心，i，j，k，試用基底i，j，k表示向量，.考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量在單位正交基底下的坐標(biāo)解延長(zhǎng)PG交CD于點(diǎn)N，則N為CD的中點(diǎn)，()ijk.ijk.1基底中不能有零向量因零向量與任意一個(gè)非零向量都為共線(xiàn)向量，與任意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向量2空間幾何體中，要得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線(xiàn)段所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo)3用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行

12、四邊形法則，加法、減法的三角形法則逐步向基向量過(guò)渡，直到全部用基向量表示一、選擇題1下列說(shuō)法中不正確的是()A只要空間的三個(gè)向量的模為1，那么它們就能構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底B豎坐標(biāo)為0的向量平行于x軸與y軸所確定的平面C縱坐標(biāo)為0的向量都共面D橫坐標(biāo)為0的向量都與x軸上的基向量垂直考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基底的概念答案A解析單位正交基底除要求模為1外，還要求三個(gè)向量?jī)蓛纱怪?在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說(shuō)法中正確的是()A向量的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)相同B向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同C向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同D向量的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案D3已知點(diǎn)

13、O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是()A.B.C.D.或考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基底的概念答案C解析ab且a，b不共線(xiàn)，a，b，共面，與a，b不能構(gòu)成一組空間基底4已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，則C的坐標(biāo)是()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案A解析設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y，z)，則(x，y，z)又(3，2，4)，x，y，z.5a，b，c為空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xaybzc0，則x，y，z的值分別為()A0,0,1B0,0,0C1,0,1D0,1,0考點(diǎn)空間向量基底

14、的概念題點(diǎn)空間向量基底的概念答案B解析若x，y，z中存在一個(gè)不為0的數(shù)，不妨設(shè)x0，則abc，a，b，c共面這與a，b，c是基底矛盾，故xyz0.6設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面向量，現(xiàn)從ab，abc中選出一個(gè)使其與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則可以選擇的是()A僅B僅CD不確定考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基底的概念答案B解析對(duì)于ab與a，b共面，ab與a，b不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底對(duì)于abc與a，b不共面，abc與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底7設(shè)OABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG3GG1，若xyz，則(x，y，z)為()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐

15、標(biāo)答案A解析如圖所示，連接AG1交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，()(2)，(2)，33()，()，故選A.二、填空題8.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系已知ABAD2，BB11，則的坐標(biāo)為_(kāi)，的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案(0,2,1)(2,2,1)解析根據(jù)已建立的空間直角坐標(biāo)系，知A(0,0,0)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，則的坐標(biāo)為(0,2,1)，的坐標(biāo)為(2,2,1)9在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_.(用a，b，c表示)考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基本定理答案abc解析()()

16、abc.10若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)向量的坐標(biāo)答案(5,13，3)解析由四邊形ABCD是平行四邊形知，設(shè)D(x，y，z)，則(x4，y1，z3)，(1,12，6)，所以解得即點(diǎn)D坐標(biāo)為(5,13，3)三、解答題11.如圖所示，在正方體OABCOABC中，a，b，c.(1)用a，b，c表示向量，；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基本定理解(1)abc.bca.(2)()()(OOOC)(cb)12.已知ABCDA1B1C1

17、D1是棱長(zhǎng)為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫(xiě)出，的坐標(biāo)考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)解設(shè)x，y，z軸的單位向量分別為e1，e2，e3，其方向與各軸的正方向相同，則2e12e22e3，(2,2,2)2e12e2e3，(2,2,1)e2，(0,1,0)13在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若xyz，求xyz的值考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量的基本定理(1)證明因?yàn)?)()，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)解因?yàn)?)，所以x1，y1，

18、z，所以xyz.四、探究與拓展14已知在四面體ABCD中，a2c，5a6b8c，AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則_.考點(diǎn)空間向量基底的概念題點(diǎn)空間向量基本定理答案3a3b5c解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD，DC，BC的中點(diǎn)，以，為基底，求下列向量的坐標(biāo)(1)，；(2)，.考點(diǎn)空間向量的正交分解題點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)解(1)，.(2)，.予少家漢東，漢東僻陋無(wú)學(xué)者，吾家又貧無(wú)藏書(shū)。州南有大姓李氏者，其于堯輔頗好學(xué)。予為兒童時(shí)，多游其家，見(jiàn)有弊筐貯故書(shū)在壁間，發(fā)而視之，得唐昌黎先生文集六卷，脫落顛倒無(wú)次序，因乞李氏以歸。讀之，見(jiàn)其言深厚而雄博，然予猶少，未能悉究其義徒見(jiàn)其浩然無(wú)涯，若可愛(ài)。 是時(shí)天下學(xué)者楊、劉之作，號(hào)為時(shí)文，能者取科第，擅名聲，以夸榮當(dāng)世，未嘗有道韓文者。予亦方舉進(jìn)士，以禮部詩(shī)賦為事。年十有七試于州，為有司所黜。因取所藏韓氏之文復(fù)閱之，則喟然嘆曰：學(xué)者當(dāng)至于是而止?fàn)?！因怪時(shí)人之不道，而顧己亦未暇學(xué)，徒時(shí)時(shí)獨(dú)念于予心，以謂方從進(jìn)士干祿以養(yǎng)親，茍得祿矣，當(dāng)盡力于斯文，以?xún)斊渌刂尽?/p>