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1、2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間中直線之間的位置關(guān)系1,4,5平行公理與等角定理2,8,13異面直線所成的角3,6,7,9,10,11,121.(2018陜西漢中期末)一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線,則它與另一條(C)(A)相交 (B)異面(C)相交或異面(D)平行解析:一條直線與兩條平行線中的一條異面,則它與另一條可能相交,也可能異面.故選C.2.在三棱錐PABC中,PC與AB所成的角為70,E,F,G分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),則FEG等于(D)(A)20(B)70(C)110(D)70或110解析:因?yàn)镋,F,G分別為PA,PB,A

2、C的中點(diǎn),所以EFAB,EGPC,所以FEG或其補(bǔ)角為異面直線PC與AB所成的角,又AB與PC所成的角為70,所以FEG為70或110.3.如圖,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),若EF=,求異面直線AD,BC所成角是(C)(A)30(B)45(C)60(D)120解:如圖,取BD的中點(diǎn)M,連接EM,FM.因?yàn)镋,F分別是AB,CD的中點(diǎn),所以EMAD,FMBC,則EMF或其補(bǔ)角就是異面直線AD,BC所成的角.因?yàn)锳D=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰MEF中,過(guò)點(diǎn)M作MHEF于H,在RtMHE中,EM=1,EH=EF=,則sinEMH=,于是EMH=6

3、0,則EMF=2EMH=120.所以異面直線AD,BC所成的角為EMF的補(bǔ)角,即異面直線AD,BC所成的角為60.故選C.4.已知異面直線a,b分別在平面,內(nèi),且=c,那么直線c一定(C)(A)與a,b都相交(B)只能與a,b中的一條相交(C)至少與a,b中的一條相交(D)與a,b都平行解析:如圖,a與b異面,但ac,故A錯(cuò);a與b異面,且都與c相交,故B錯(cuò);若ac,bc,則ab,與a,b異面矛盾,故D錯(cuò).5.如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是(C)(A)CC1與B1E是異面直線(B)C1C與AE共面(C)AE,B1C1是異面

4、直線(D)AE與B1C1所成的角為60解析:由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi),故C1C與B1E是共面的,所以A錯(cuò)誤;由于C1C在平面C1B1BC內(nèi),而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn),點(diǎn)E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯(cuò)誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,E為BC中點(diǎn),ABC為正三角形,所以AEBC,D錯(cuò)誤.故選C.6.如圖所示,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),D,E分別是VB,VC的中點(diǎn),則異面直線DE與AB所成的角為.解析:因?yàn)镈,E分別是VB,VC的中點(diǎn),所以BCDE,因此ABC是異面直線DE與AB所成的角,

5、又因?yàn)锳B是圓O的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),所以ABC是以ACB為直角的等腰直角三角形,于是ABC=45,故異面直線DE與AB所成的角為45.答案:457.如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AD,AA1的中點(diǎn).(1)直線AB1和CC1所成的角為;(2)直線AB1和EF所成的角為.解析:(1)因?yàn)锽B1CC1,所以AB1B即為異面直線AB1與CC1所成的角,AB1B=45.(2)連接B1C,易得EFB1C,所以AB1C即為直線AB1和EF所成的角.連接AC,則AB1C為正三角形,所以AB1C=60.答案:(1)45(2)608.如圖,空間四邊形ABCD的對(duì)棱AD,BC成

6、60的角,且AD=BC=a,平行于AD與BC的截面分別交AB,AC,CD,BD于點(diǎn)E,F,G,H,E在AB的何處時(shí)截面EGFH的面積最大?最大面積是多少?解:因?yàn)锳D與BC成60角,所以HGF=60或120.設(shè)AEAB=x,則=x.又BC=a,所以EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).所以S四邊形EFGH=EFEHsin 60=axa(1-x)=a2(-x2+x)=a2-(x-)2+.當(dāng)x=時(shí),S最大值=a2,即當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),截面的面積最大,最大面積為a2.9.如圖所示,在正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點(diǎn),G,H,I,J分別為AF,AD,BE,DE的中點(diǎn),將ABC沿D

7、E,EF,DF折成三棱錐以后,HG與IJ所成角的度數(shù)為(B)(A)90(B)60(C)45(D)0解析:將三角形折成空間幾何體,如圖所示,HG與IJ是一對(duì)異面直線.因?yàn)镮JAD,HGDF,所以DF與AD所成的角為HG與IJ所成的角,又ADF=60,所以HG與IJ所成的角為60.10.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:ABEF;AB與CM所成的角為60;EF與MN是異面直線;MNCD.以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為.解析:還原成正方體如圖所示,可知正確.ABCM,不正確.正確.MNCD.不正確.答案:11.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1

8、的中點(diǎn),問(wèn)(1)AM和CN是否是異面直線?(2)D1B和CC1是否是異面直線?說(shuō)明理由.解:由于M,N分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn),可證明MNAC,因此AM與CN不是異面直線.由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大,判斷的方法可用反證法.(1)不是異面直線.理由:因?yàn)镸,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),所以MNA1C1.又因?yàn)锳1AC1C,所以A1ACC1為平行四邊形.所以A1C1AC,得到MNAC,所以A,M,N,C在同一個(gè)平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線.(2)是異面直線,證明如下:假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面CC1D1D內(nèi),則B平面CC1D1D,C平面CC1D1D.所

9、以BC平面CC1D1D,這與ABCDA1B1C1D1是正方體相矛盾.所以假設(shè)不成立,故D1B與CC1是異面直線.12.如圖,正方體ABCDEFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心,求:(1)BE與CG所成的角;(2)FO與BD所成的角.解:(1)如圖,因?yàn)镃GBF,所以EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角,又BEF中,EBF=45,所以BE與CG所成的角為45.(2)連接FH,因?yàn)镠DEA,EAFB,所以HDFB,所以四邊形HFBD為平行四邊形,所以HFBD,所以HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角.連接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以AFH為等邊三角形,又依題意知O為AH

10、的中點(diǎn),所以HFO=30,即FO與BD所成的角是30.13.如圖,E,F,G,H分別是三棱錐ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),且=,=.(1)若=,判斷四邊形EFGH的形狀;(2)若,判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若=,且EGHF,求的值.解:(1)因?yàn)?,所以EHBD,且EH=BD. 又因?yàn)?.所以FGBD,且FG=BD. 又=,所以EHFG(公理4).因此=時(shí),四邊形EFGH為平行四邊形.(2)若,由,知EHFG,但EHFG,因此時(shí),四邊形EFGH為梯形.(3)因?yàn)?,所以四邊形EFGH為平行四邊形.又因?yàn)镋GHF,所以四邊形EFGH為菱形.所以FG=HG.所以AC=(+1)HG

11、=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.予少家漢東，漢東僻陋無(wú)學(xué)者，吾家又貧無(wú)藏書(shū)。州南有大姓李氏者，其于堯輔頗好學(xué)。予為兒童時(shí)，多游其家，見(jiàn)有弊筐貯故書(shū)在壁間，發(fā)而視之，得唐昌黎先生文集六卷，脫落顛倒無(wú)次序，因乞李氏以歸。讀之，見(jiàn)其言深厚而雄博，然予猶少，未能悉究其義徒見(jiàn)其浩然無(wú)涯，若可愛(ài)。 是時(shí)天下學(xué)者楊、劉之作，號(hào)為時(shí)文，能者取科第，擅名聲，以夸榮當(dāng)世，未嘗有道韓文者。予亦方舉進(jìn)士，以禮部詩(shī)賦為事。年十有七試于州，為有司所黜。因取所藏韓氏之文復(fù)閱之，則喟然嘆曰：學(xué)者當(dāng)至于是而止?fàn)?！因怪時(shí)人之不道，而顧己亦未暇學(xué)，徒時(shí)時(shí)獨(dú)念于予心，以謂方從進(jìn)士干祿以養(yǎng)親，茍得祿矣，當(dāng)盡力于斯文，以償其素志。