《高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件3 新人教A版必修4.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件3 新人教A版必修4.ppt（61頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用,三角函數(shù)的應(yīng)用 (1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的圖象求出函數(shù)解析式. (2)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與_有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型. (3)利用搜集的數(shù)據(jù)作出_,并根據(jù)_進(jìn)行函數(shù)擬合, 從而得到函數(shù)模型.,三角函數(shù),散點(diǎn)圖,散點(diǎn)圖,1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).( ) (2)函數(shù)y=3sin x+1的最大值為3.( ) (3)直線x=是函數(shù)y=cos x的一條對(duì)稱(chēng)軸.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤. 函數(shù)y=tan x在開(kāi)區(qū)間 kZ內(nèi)是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不具備單調(diào)性. (2)錯(cuò)誤.當(dāng)sin x=1時(shí)，函數(shù)y=3sin x+1的最大值

2、為4. (3)正確.函數(shù)y=cos x的對(duì)稱(chēng)軸為x=k(kZ)，當(dāng)k=1時(shí)即為 x=. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上) (1)函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi). (2)函數(shù) 的最小正周期為_(kāi). (3)已知某地一天從416時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y= x4,16，則該地區(qū)這一段時(shí)間內(nèi)的溫 差為_(kāi).,【解析】(1)因?yàn)閥=tan x的定義域?yàn)?故 kZ，解得xk+ ,kZ.故所求函數(shù)的 定義域?yàn)閤|xR,xk+ ,kZ. 答案：x|xR,xk+ ,kZ (2)由函數(shù)y=sin(x+)的周期是T= 直接套用公式可得 T= =. 答案：,(3)由函數(shù)易知，當(dāng)x=14時(shí)函數(shù)取

3、最大值，此時(shí)最高溫度為 30 ,當(dāng)x=6時(shí)函數(shù)取最小值，此時(shí)最低溫度為10 ，所以溫 差為30-10=20(). 答案：20 ,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1.三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式 (1)給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型,根據(jù)所給模型,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),解決一些實(shí)際問(wèn)題. (2)給定呈周期變化的圖象,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型,再解決其他問(wèn)題.,(3)整理一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,通過(guò)擬合函數(shù)圖象,求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型,進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題.,2.三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟 (1)建模問(wèn)題步驟：審讀題意建立三角函數(shù)式根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三

4、角函數(shù)值解決實(shí)際問(wèn)題. (2)建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫(xiě)出具體的三角函數(shù)式.,3.三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn) (1)一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫(huà)實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍. (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)來(lái)理解.,【知識(shí)拓展】三角函數(shù)模型的應(yīng)用流程 (1)審題：選用什么樣的函數(shù)模型建模. (2)建模：根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立三角函數(shù)模型. (3)解模：運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn). (4)還原：解模后還要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的背景，進(jìn)行檢驗(yàn)，并作答.,【微思考】 在建模過(guò)程中,

5、散點(diǎn)圖的作用是什么？ 提示：利用散點(diǎn)圖可以較為直觀地分析兩個(gè)變量之間的某種關(guān)系,然后利用這種關(guān)系選擇一種合適的函數(shù)去擬合這些散點(diǎn),從而避免因盲目選擇函數(shù)模型而造成的不必要的失誤.,【即時(shí)練】 電流強(qiáng)度I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系是 則當(dāng) t= 時(shí)，電流強(qiáng)度I為_(kāi). 【解析】當(dāng)t= 時(shí)， = 答案：,【題型示范】 類(lèi)型一 三角函數(shù)圖象與解析式的對(duì)應(yīng)問(wèn)題 【典例1】 (1)函數(shù)y=x+sin|x|，x-,的大致圖象是( ),(2)如圖是周期為2的三角函數(shù)y=f(x)的圖象，那么f(x)=( ) A.sin(1+x) B.sin(-1-x) C.sin(1-x) D.sin(-1+x),【解題探

6、究】1.在題(1)中函數(shù)y=x+sin|x|，x-,具有怎樣的奇偶性？奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象有怎樣的特點(diǎn)？ 2.在題(2)中周期為2和函數(shù)的哪個(gè)量有關(guān)？圖象過(guò)哪個(gè)特殊點(diǎn)？ 【探究提示】1.函數(shù)y=x+sin|x|，x-,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù), 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 2.周期與有關(guān)，可得=1，圖象過(guò)(1,0)點(diǎn).,【自主解答】(1)選C.y=x+sin|x|,x-,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選C. (2)選C.圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)，排除A，B；當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，故選C.,【方法技巧】解決函數(shù)圖象與解析式對(duì)應(yīng)問(wèn)題的策略 (1)一般方法是根據(jù)圖象所反映出

7、的函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、值域，此外零點(diǎn)也可以作為判斷的依據(jù). (2)利用圖象確定函數(shù)y=Asin(x+)的解析式，實(shí)質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A，.其中A由最值確定；由周期確定，而周期由特殊點(diǎn)求得；由點(diǎn)在圖象上求得，確定時(shí)，注意它的不唯一性，一般要求|中最小的.,【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=-xcos x的部分圖象是( ) 【解析】選D.首先該函數(shù)是奇函數(shù),故排除A，C；又當(dāng)0x 時(shí), y0,排除B；故選D.,類(lèi)型二 三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用 【典例2】 (1)如圖所示為一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是( ) A.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)周期為0.7 s B.該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振

8、幅為5 cm C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)振動(dòng)速度最大 D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0.7 s時(shí)的加速度為零,(2)已知如圖表示電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的關(guān)系I=Asin(t+)(A 0，0)的圖象. 試根據(jù)圖象寫(xiě)出I=Asin(t+)的解析式. 為了使I=Asin(t+)(A0，0)中t在任意一段 秒的 時(shí)間內(nèi)電流強(qiáng)度I能同時(shí)取得最大值A(chǔ)與最小值-A，那么正整數(shù) 的最小值是多少？,【解題探究】1.題(1)中由圖中的哪些信息來(lái)確定該函數(shù)的周 期和振幅？ 2.圖中的最大值和最小值分別是多少？圖中的 和點(diǎn) 與該函數(shù)的周期有何關(guān)系？ 【探究提示】1.由圖中的最低位置可得振幅，由(0.3,0)和 (0.

9、7,0)可知 =0.7-0.3=0.4，故T=0.8. 2.最大值和最小值分別為300和-300，由此可得A=300，由這兩 點(diǎn)可得,【自主解答】(1)選B.由圖象知，振幅為5 cm； =0.7-0.3= 0.4，故T=0.8 s，故A錯(cuò)誤.該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s離開(kāi)平衡位 置最遠(yuǎn)，而不能說(shuō)振動(dòng)速度最大，故C錯(cuò)誤，該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和 0.7 s時(shí)正好回到平衡位置，而不是加速度為零，故D錯(cuò)誤.,(2)由圖知，A=300.T= 所以= =100. 因?yàn)?是該函數(shù)圖象的第一個(gè)點(diǎn)(五點(diǎn)作圖法)， 所以 所以 所以 問(wèn)題等價(jià)于 即 所以200，所以最小的正整數(shù)為629.,【延伸探究】在本題(2

10、)中其他條件不變的情況下，當(dāng)t=10 s時(shí)的電流強(qiáng)度I應(yīng)為多少？ 【解題指南】由題中求出的解析式可知，將t=10 s代入求解即可. 【解析】 將t=10 s代入可得：,【方法技巧】處理物理學(xué)問(wèn)題的策略 (1)常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺，光波，電流，機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性. (2)明確物理概念的意義，此類(lèi)問(wèn)題往往涉及諸如頻率，振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題.,【變式訓(xùn)練】彈簧上掛的小球上下振動(dòng)時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的距離s(cm)隨時(shí)間t(s)的變化曲線是一個(gè)三角函數(shù)曲線，其圖象如圖所示： (1)求這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式. (2)小球在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位

11、置的位移是多少？,【解題指南】小球在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移就是t=0時(shí)s的值.,【解析】(1)設(shè)這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s=Asin(t+). 由圖象可知：A=4，周期 所以= =2， 此時(shí)所求函數(shù)的解析式為s=4sin(2t+). 以點(diǎn) 為“五點(diǎn)法”作圖的第二關(guān)鍵點(diǎn)，則有 所以= , 得函數(shù)解析式為s=,(2)當(dāng)t=0時(shí)， 所以小球在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移是 cm.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖是一個(gè)單擺的振動(dòng)圖象，則該單擺的振幅是 _;振動(dòng)的頻率是_. 【解析】由圖可知該單擺的振幅是1，振動(dòng)的周期是0.8，所以 振動(dòng)的頻率是 =1.25. 答案：1 1.25,類(lèi)型三 三角函數(shù)在實(shí)際生

12、活中的應(yīng)用 【典例3】 (1)甲乙兩人從直徑為2r的圓形水池的一條直徑的兩端同時(shí)按 逆時(shí)針?lè)较蜓爻刈鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，已知甲的速度是乙的速度的 兩倍，乙繞池一周為止，若用表示乙在某時(shí)刻旋轉(zhuǎn)角的弧度 數(shù)，l表示甲乙兩人的直線距離，則l=f()的大致圖象是( ),(2)如圖所示，游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： 求出你與地面的距離y(米)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)你第4次距離地面60.5米時(shí)，用了多長(zhǎng)時(shí)間？,【解題探究】1.

13、題(1)中當(dāng)為多少時(shí)兩人相遇？此時(shí)l為多少？ 2.題(2)中可以選用哪種三角函數(shù)式來(lái)表示該函數(shù)的關(guān)系式？此種函數(shù)的周期為多少？ 【探究提示】1.當(dāng)=時(shí)，兩人相遇，此時(shí)l=0. 2.可以用余弦函數(shù)來(lái)表示該函數(shù)的關(guān)系式，周期為12分鐘.,【自主解答】(1)選B.由題意知，=時(shí)，兩人相遇，排除 A，C；兩人的直線距離不可能為負(fù)，排除D. (2)可以用余弦函數(shù)來(lái)表示該函數(shù)的關(guān)系式，由已知可設(shè)y= 40.5-40cos t，t0，由周期為12分鐘可知當(dāng)t=6時(shí)，摩天 輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6= ，即= .所以y=40.5-40cos t(t0).,設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第t0分鐘時(shí)距

14、地面60.5米，由60.5=40.5- 40cos t0，得cos t0=- ，所以 t0= 或 t0= 解得t0=4或8.所以t=8分鐘時(shí)，第2次距地面60.5米，故第4次 距離地面60.5米時(shí)，用了12+8=20(分鐘).,【方法技巧】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟,【變式訓(xùn)練】在圖中，點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3 cm，周期為3 s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí). (1)求物體對(duì)平衡位置的位移x(cm)和時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)求該物體在t=5 s時(shí)的位置.,【解題指南】(1)根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式，并求出其中

15、的參數(shù)，得到函數(shù)關(guān)系. (2)把t=5代入解析式得出物體的位置.,【解析】(1)設(shè)x和t之間的函數(shù)關(guān)系為x=3sin(t+)(0, 02)， 由題意可得 當(dāng)t=0時(shí)，有x=3sin =3sin =1， 又02，故可得= . 所以所求函數(shù)解析式為 (2)令t=5,得x= =-1.5(cm)， 故該物體在t=5 s時(shí)的位置是在O點(diǎn)的左側(cè)且距O點(diǎn)1.5 cm.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,一個(gè)大風(fēng)車(chē)的半徑是8米,每12分鐘旋轉(zhuǎn)一周,最低點(diǎn)離地面2米,若風(fēng)車(chē)翼片從最低點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn),則該翼片的端點(diǎn)P離地面的距離h(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)解析式是( ) A.h=8cos t+10 B.h=-8co

16、s t+10 C.h=-8sin t+10 D.h=-8cos t+10,【解析】選D.首先考慮建立直角坐標(biāo)系，以最低點(diǎn)的切線作為x 軸，最低點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 那么，風(fēng)車(chē)上翼片端點(diǎn)所在位置P可由函數(shù)x(t),y(t)來(lái)刻畫(huà)，而且h(t)=y(t)+2 所以，只需要考慮y(t)的解析式,又設(shè)P的初始位置在最低點(diǎn)，即y(0)=0 在RtO1PQ中，由 得y(t)=-8cos +8 又 所以= t，y(t)=-8cos t+8， h(t)=-8cos t+10.,拓展類(lèi)型 根據(jù)數(shù)據(jù)擬合函數(shù) 【備選例題】(1)下表所示是芝加哥1951年到1981年的月平均氣溫(華氏),以月份減

17、1為x，平均氣溫為y，以下四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)( ) A.y=Acos x B.y=Acos x+46 C.y=-Acos x+46 D.y=Asin x+26,(2)已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0t24，記y=f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)： 經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)y=Acos t+b的圖象. 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期、振幅及函數(shù)解析式； 根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？,【解析】(1)選C.最高氣溫73.0，最低氣

18、溫21.4，故2A=73.0-21.4=51.6，A=25.8.x=1時(shí)，y=26.0分別代入A，B，D均不成立，所以選C. (2)由表中數(shù)據(jù)可知，T=12， 所以 又t=0時(shí)y=1.5， 所以A+b=1.5；t=3時(shí)y=1.0得b=1.0， 所以振幅為 ，y= cos t+1.,y1時(shí)，才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放， 所以y= cos t+11，cos t0， 即2k- t2k+ (kZ)， 得12k-3t12k+3(kZ)，又0t24， 所以0t3或9t15或21t24， 所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)可以進(jìn)行活動(dòng)， 即9t15.,【方法技巧】數(shù)據(jù)擬合的通法 (1)處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)

19、處理能力，解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用. (2)一般方法：數(shù)據(jù)對(duì)作散點(diǎn)圖確定擬合函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.,【規(guī)范解答】綜合應(yīng)用函數(shù)y=Asin(x+)+b的性質(zhì)解決實(shí)際 問(wèn)題 【典例】(12分)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在6 千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)=Asin(x+)+b(A0,0,| )的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)8千元，7 月份價(jià)格最低為4千元；該商品每件的售價(jià)為g(x)(x為月份)且 滿足g(x)=f(x-2)+2.,(1)分別寫(xiě)出該商品每件的出廠價(jià)函數(shù)f(x),售價(jià)函數(shù)g(x)的解析式. (2)問(wèn)哪幾個(gè)月能盈利？

20、,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升 失分點(diǎn)1：解題時(shí)若在處值求錯(cuò)，從而使f(x)的解析式求錯(cuò)，則本題最多得3分. 失分點(diǎn)2：解題時(shí)若未能求出處x的范圍，則無(wú)法求出盈利時(shí)的月份，考試時(shí)要扣去34分. 失分點(diǎn)3：解題時(shí)若漏掉處k=1的情況，則會(huì)導(dǎo)致答案不全，考試時(shí)要扣去1分.,【悟題】提措施，導(dǎo)方向 1.確定值是求函數(shù)解析式的關(guān)鍵 求值時(shí)一般先求出sin 的值，再根據(jù)的范圍確定值，有時(shí)可以根據(jù)函數(shù)圖象確定值，如本例確定值的方法就是借助的范圍得到的. 2.結(jié)合函數(shù)的圖象、周期性表示x的范圍 確定滿足不等式的x范圍時(shí)，可以結(jié)合圖象先求出一個(gè)周期內(nèi)的滿足條件的x范圍，再借助周期性得到R上的x的范圍，如本例求出8k+3x8k+9，kZ.,【類(lèi)題試解】(拷北師)根據(jù)市氣象站對(duì)春季某一天氣溫變化的 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，氣溫變化的分布與曲線 擬 合(0 x0)，現(xiàn)已知這天氣溫為4至12攝氏度，并得知在凌 晨1時(shí)整氣溫最低，下午13時(shí)整氣溫最高. (1)求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式. (2)這天氣溫不低于10攝氏度的時(shí)間有多長(zhǎng)？,【解析】(1)b=(4+12)2=8,A=(12-4)2=4, 所以這條曲線的函數(shù)表達(dá)式為 (2)令y10,則 所以 0 x24,所以 所以9x17,所以17-9=8,故這天氣溫不低于10攝氏度的時(shí)間 有8小時(shí).,