《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何4.3第1課時(shí)空間中的角課后篇鞏固提升訓(xùn)練含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè).docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何4.3第1課時(shí)空間中的角課后篇鞏固提升訓(xùn)練含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè).docx（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第三章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時(shí)空間中的角課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.若平面的一個(gè)法向量為n1=(1,0,1),平面的一個(gè)法向量是n2=(-3,1,3),則平面與所成二面角的平面角等于()A.30B.45C.60D.90答案D解析因?yàn)閚1n2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以,即平面與所成二面角的平面角等于90.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A.52266B.-52266C.52222D.-52222答案A解析AB=(2,-2,-

2、1),CD=(-2,-3,-3),而cos􀎮AB,CD􀎯=ABCD|AB|CD|=5322=52266,故直線AB和CD所成角的余弦值為52266.3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30B.45C.60D.90答案A解析取AB的中點(diǎn)D,連接CD,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),故AB1=(-2

3、,0,3),AC1=(-1,3,3),設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(a,b,c),AA1與平面A1B1C1所成角為,根據(jù)mAB1=0,mAC1=0,可得m=(3,-3,2),cos=mAA1|m|AA1|=12.sin=|cos|=12.故AA1與平面AB1C1所成角的大小為30,故選A.4.已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角為()A.30B.45C.60D.90答案B解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),AD=(0,1,0).取PD的中點(diǎn)E,

4、則E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一個(gè)法向量,AE是平面PCD的一個(gè)法向量,所以cos=22,故平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角為45.5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為AD,C1D1的中點(diǎn),O為側(cè)面BCC1B1的中心,則異面直線MN與OD1所成角的余弦值為()A.16B.14C.-16D.-14答案A解析如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2,則M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-

5、2,1).則cos=MNOD1|MN|OD1|=166=16.異面直線MN與OD1所成角的余弦值為16,故選A.6.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則直線AE與平面A1ED所成角的正弦值為.答案49解析在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),設(shè)平面A1ED

6、的法向量為n=(x,y,z),則nDA1=2x+4z=0,nDE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),設(shè)直線AE與平面A1ED所成角為,則sin=|cos|=EAn|EA|n|=499=49.直線AE與平面A1ED所成角的正弦值為49.7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的平面角的余弦值為.答案23解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長為2,則D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),則A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).設(shè)平面A1ED的法向量為n=(x,y,z),則nA1D

7、=0,nA1E=0.則2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量為m=(0,0,1),則cos=nm|n|m|=23.設(shè)平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為,則cos=|cos|=23.8.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成銳二面角的余弦值.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),AB平面SAD

8、,故平面ASD的一個(gè)法向量為AB=(0,2,0),設(shè)直線SC與平面ASD所成的角為,則sin=|cos|=|SCAB|SC|AB|=33,故cos=63,即SC與平面ASD所成角的余弦值為63.(2)易知平面SAB的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由SCn=0,SDn=0,可得x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一個(gè)法向量為n=(2,-1,1),設(shè)平面SAB和平面SCD所成銳二面角的平面角為,則cos=|mn|m|n|=63,即平面SAB和平面SCD所成銳二面角的余弦值為63.9.如

9、圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,BF平面ABCD,DE平面ABCD,BF=DE,M為棱AE的中點(diǎn).(1)求證:平面BDM平面EFC;(2)若DE=2AB,求直線AE與平面BDM所成角的正弦值.(1)證明連接AC,交BD于點(diǎn)N,連接MN,則N為AC的中點(diǎn),又M為AE的中點(diǎn),所以MNEC.因?yàn)镸N平面EFC,EC平面EFC,所以MN平面EFC.因?yàn)锽F,DE都垂直底面ABCD,所以BFDE.因?yàn)锽F=DE,所以四邊形BDEF為平行四邊形,所以BDEF.因?yàn)锽D平面EFC,EF平面EFC,所以BD平面EFC.又MNBD=N,所以平面BDM平面EFC.(2)解因?yàn)镈E平面ABCD,

10、四邊形ABCD是正方形,所以DA,DC,DE兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)AB=2,則DE=4,從而D(0,0,0),B(2,2,0),M(1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4),所以DB=(2,2,0),DM=(1,0,2),設(shè)平面BDM的法向量為n=(x,y,z),則nDB=0,nDM=0,即2x+2y=0,x+2z=0.令x=2,則y=-2,z=-1,從而n=(2,-2,-1)為平面BDM的一個(gè)法向量.因?yàn)锳E=(-2,0,4),設(shè)直線AE與平面BDM所成的角為,則sin=|cos|=nAE|n|AE|=4515,所以直線AE與平面BDM所成角的正弦值為451

11、5.等級(jí)考提升練10.如圖,在三棱錐C-OAB中,OAOB,OC平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則異面直線DF與OE所成角的余弦值為()A.1010B.61025C.3030D.3020答案B解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A,OB,OC為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則D(3,4,0),F(0,4,4),E(0,2,6),DF=(-3,0,4),OE=(0,2,6),cos=DFOE|DF|OE|=245210=61025,異面直線DF與OE所成角的余弦值為61025.11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn)

12、,F為B1C1上靠近點(diǎn)B1的四等分點(diǎn),則直線AC1與平面EFD1所成角的正弦值為()A.2613B.22613C.27839D.47839答案D解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則E(1,2,0),F32,2,2,D1(0,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),EF=12,0,2,D1F=32,2,0,AC1=(-2,2,2).設(shè)平面EFD1的法向量n=(x,y,z),則nEF=0,nD1F=0,即12x+2z=0,32x+2y=0,取x=4,得n=(4,-3,-1),設(shè)直線AC1與平面EFD1所成角為,則sin=|

13、cos|=47839.12.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E為側(cè)棱BB1上的一點(diǎn),且B1EB1B=13,則直線AE與平面A1ED1所成角的余弦值為()A.255B.1010C.31010D.55答案B解析以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,A1(2,0,3),E(2,2,2),D1(0,0,3),A(2,0,0),A1E=(0,2,-1),D1E=(2,2,-1),EA=(0,-2,-2).設(shè)平面A1ED1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則A1En=0,D1En=0,即2y-z=0,2x+2y-z=0,取

14、z=2,則n=(0,1,2),cos=nEA|n|EA|=-2-44+41+4=-6210=-31010,設(shè)直線AE與平面A1ED1所成角大小為,則sin=|cos|=31010,所以cos=1-910=1010.13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A.12B.23C.33D.22答案B解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)棱長為1,則A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),所以有A1Dn1=0,A1En1=0,即y-z=0,x-12z=0,令x=1,解得y=2,z=2,n1=(1,2,2).平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),cos=231=23,即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為23.14.將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,AC長為23,A1B1長為3,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè),則異面直線B1C與AA1所成的角的大小為()A.6B.4C.3D.2答案