《函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性.doc（16頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、. .函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性“定義域優(yōu)先的思想是研究函數(shù)的前提，在求值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、換元時易忽略定義域，所以必須先考慮函數(shù)的定義域，離開函數(shù)的定義域去研究函數(shù)的性質(zhì)沒有任何意義。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；f(-x)f(x)=1是偶；f(x)f(-x)=-1為奇函數(shù).1假設(shè)定義域關(guān)于原點對稱2假設(shè)定義域不關(guān)于原點對稱 非奇非偶 例如：在上不是奇函數(shù)常用性質(zhì)：1是既奇又偶函數(shù)

2、； 2奇函數(shù)假設(shè)在處有定義，那么必有； 3偶函數(shù)滿足； 4奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；5除外的所有函數(shù)的奇偶性滿足：1奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇非偶 2 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)6任何函數(shù)可以寫成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。2. 單調(diào)性定義：函數(shù)定義域為A，區(qū)間，假設(shè)對任意且總有那么稱在區(qū)間M上單調(diào)遞增總有那么稱在區(qū)間M上單調(diào)遞減應(yīng)用：一常用定義法來證明一個函數(shù)的單調(diào)性一般步驟：1設(shè)值2作差3變形4定號5結(jié)論二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法(以后學(xué))注：常用結(jié)論（1） 奇函數(shù)在對

3、稱區(qū)間上的單調(diào)性一樣（2） 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反（3） 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性-同增異減 3. 周期性1一般地對于函數(shù)，假設(shè)存在一個不為0的常數(shù)T，使得內(nèi)一切值時總有，那么叫做周期函數(shù)，T叫做周期，kTT的整數(shù)倍也是它的周期2如果周期函數(shù)在所有周期中存在一個最小正數(shù)，就把這個最小正數(shù)叫最小正周期。注：常用結(jié)論1假設(shè)，那么是周期函數(shù)，是它的一個周期自己證明2假設(shè)定義在R上的函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x =b成軸對稱 ab，那么y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個周期。自己證明推論假設(shè)定義在R上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么是周期函數(shù)，是它的一個

4、周期3假設(shè)；那么是周期函數(shù)，2是它的一個周期4對稱性一、函數(shù)自身的對稱性定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a,b)對稱的充要條件是 f (x) + f (2ax) = 2b f(a-x)+f(a+x)=2b證明：必要性設(shè)點P(x,y)是y = f(x)圖像上任一點，點P(x,y)關(guān)于點A (a,b)的對稱點P2ax，2by也在y = f(x)圖像上， 2by = f (2ax) 即y + f (2ax)=2b故f(x) + f (2ax) = 2b，必要性得證。充分性設(shè)點P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點，那么y0= f(x0) f(x) + f (2ax) =2b

5、f(x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故點P2ax0，2by0也在y = f(x) 圖像上，而點P與點P關(guān)于點A (a,b)對稱，充分性得證。推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (x) = 0定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (ax) 即f(x) = f (2ax) 證明留給讀者推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (x)定理3函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是 f (

6、a +x) = f (ax) 或 f(x) = f (2ax)定理4.假設(shè)函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x =b成軸對稱 ab，那么y = f (x)是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個周期。二不同函數(shù)對稱性定理5. 函數(shù)y = f (a+x)與y = f (bx)的圖像關(guān)于直線x = (b-a)/2成軸對稱定理6. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)關(guān)于直線y=x對稱【典型例題】例1 判斷以下函數(shù)奇偶性1且2345解：1且奇函數(shù)2，關(guān)于原點對稱奇函數(shù) 3，關(guān)于原點對稱 既奇又偶4考慮特殊情況驗證： ；無意義； 非奇非偶5且，關(guān)于原點對稱為偶函數(shù)例21，為何值時，為奇函數(shù)；2為何值

7、時，為偶函數(shù)。答案：1恒等定理時，奇函數(shù)2 恒等定理穩(wěn)固：定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。求的值；假設(shè)對任意的，不等式恒成立，求的取值X圍；解析：簡 解：取特殊值法因為是奇函數(shù)，所以=0，即又由f1= - f-1知解法一：由知，易知在上為減函數(shù)又因是奇函數(shù)，從而不等式： 等價于，因為減函數(shù)，由上式推得：即對一切有：，從而判別式例3 求函數(shù)的解析式1為R上奇函數(shù)，時，解：時， 2為R上偶函數(shù)，時，解：時，例4 求以下函數(shù)的增區(qū)間12答案：1， 2作圖 例5假設(shè)在區(qū)間，求取值X圍。答案：分類討論1當(dāng)在區(qū)間，符合題意當(dāng)時，要在區(qū)間，那么有 例6 ，為偶函數(shù)，試比擬的大小關(guān)系。解：為偶函數(shù) 那么函數(shù)關(guān)于直線x

8、=2對稱在0，2(提示：看離對稱軸的遠(yuǎn)近)例7 為偶函數(shù)，假設(shè)，求取值X圍。解： 例8 求以下函數(shù)是否為周期函數(shù)1，滿足2，滿足3，滿足4，滿足答案：1令 T=2周期函數(shù)2 T=4周期函數(shù)3 T=44 T=8例9 ，偶函數(shù)，周期函數(shù)，T=2，那么 ，求當(dāng)時， 。答案： 例10 ，偶函數(shù)，奇函數(shù)，那么 。答案：奇偶奇 穩(wěn)固例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),那么f (x)一定是 (A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x

9、) = f (10x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)，x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。應(yīng)選(A)例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x1)和g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，假設(shè)g(5) = 1999，那么f(4)= 。 1999； B2000； C2001； D2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，y = g-1(x2) 反函數(shù)是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函數(shù)

10、是:y = 2 + g(x),f(x1) = 2 + g(x),有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,應(yīng)選C例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1x),當(dāng)1x0時，f(x) = x，那么f(8.6 ) = _解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x = 0是y = f(x)對稱軸；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f(x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f(8.6 ) = f(8+0.6 ) = f(0.6 ) = f(0.6 ) = 0.3例4. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x)

11、,當(dāng)0x1時，f(x) = x，那么f(7.5 ) = (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，點0，0是其對稱中心； 又f(x+2 )= f(x) = f(x)，即f(1+ x) = f(1x)，直線x = 1是y = f(x) 對稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數(shù)。f(7.5 ) = f(80.5 ) = f(0.5 ) =f(0.5 ) =0.5 應(yīng)選(B)【作業(yè)】1. 兩位學(xué)生在思考一個開放題“滿足的點稱為函數(shù)的不動點，請你構(gòu)造一個分段函數(shù)，使其具有無數(shù)個不動點，這些不動點構(gòu)成一個公比不為1的等比數(shù)列。兩位學(xué)生分別構(gòu)造了

12、一個函數(shù)：請你判斷，正確的結(jié)論是 A. 都對 B. 對錯 C. 錯對 D. 都錯2. 函數(shù)與的圖像關(guān)于 A. y軸對稱 B. 原點對稱C. 直線x=1對稱 D. 關(guān)于y軸對稱且關(guān)于直線x=1對稱3. 假設(shè)函數(shù)在上是減函數(shù)，那么的取值X圍是 A. B. C. D. 4. 函數(shù)在上存在，使，那么的取值X圍是 A. B. C. 或 D. 5. 假設(shè)，那么它們的大小關(guān)系為 A. B. C. D. 6. 如下圖，點P在邊長為1的正方形的邊上運(yùn)動，設(shè)M是CD邊的中點，那么當(dāng)點P沿著ABCM運(yùn)動時，以點P經(jīng)過的路程為自變量，三角形APM的面積函數(shù)的圖像形狀大致是 7. 函數(shù) A. 在1，內(nèi)單調(diào)遞增 B. 在1，內(nèi)單調(diào)遞減C. 在內(nèi)單調(diào)遞增 D. 在內(nèi)單調(diào)遞減8. 函數(shù)的定義域為，值域為，其反函數(shù)為，那么的