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1、2019-2020年四年級數(shù)學找規(guī)律練習題整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3aaa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關，而a的個位數(shù)只有0，1，2，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，的個位數(shù)字各是什么。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可

2、分為三類：（1）當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。（2）當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。（3）當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個位數(shù)字。分析與解：因為6

3、7的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。99942493，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，914223，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，2914723，所以3291與33的個位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字相同，等于5。例3 求28128-2929的個位數(shù)字。解：由128432知，28128

4、的個位數(shù)與84的個位數(shù)相同，等于6。由292141知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)相同，等于9。因為69，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為1697。例4 求下列各除法運算所得的余數(shù)：（1）78555；（2）5553。分析與解：（1）由554133知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10a2。因為10a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。（2）因為a3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關，所以不能用求555的個位數(shù)的方法求解。為了尋找5n3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上

5、次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與15=5除以3的余數(shù)相同。這是因為5238+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由552=271知，5553的余數(shù)與513的余數(shù)相同，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析與解：1時后有13=31（個）細菌，2時后有313=32（個）細菌20時后，有320個細菌，所以本題相

6、當于“求3207的余數(shù)”。由例4（2）的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20632知，3207的余數(shù)與327的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，anb所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因為所得余數(shù)必然小于b，所以在b個數(shù)以內(nèi)必會重復出現(xiàn)。附送：2019-2020年四年級數(shù)學數(shù)字謎復習例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補上：分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的

7、突破口在百位數(shù)上。（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應填9，被減數(shù)的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。（2）填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：分析與解：（1）這是一道四個數(shù)連加的算

8、式，其特點是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學”。從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：22228與777728，即“學”2或7。如果“學”2，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時，百位上的和為“學”“學”122154。因此“學”2。如果“學”7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。滿足條件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=9

9、88，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。滿足條件的算式如右下式。例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比較。例3 下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析與解：由于個位上的“賽”“賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗的方法求解。（1）若“賽”2，則“數(shù)”4，積=444444。被乘數(shù)為4444442222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”2。（2）若“賽”

10、3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。（3）若“賽”4，則“數(shù)”6，積=666666。6666664得不到整數(shù)商，不合題意。（4）若“賽”7，則“數(shù)”9，積=999999。被乘數(shù)為9999997142857，符合題意。（5）若“賽”8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是142857。例4 在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，表示內(nèi)應填入的數(shù)字（見右上式）。由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。若C5，則有65=（600+）5=3000+5，不可能等于55，與題意不符，所以B

11、=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數(shù)為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于55，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗只有6457滿足55，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗知D=2。右式為所求豎式。此類乘法豎式題應根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。例5 在內(nèi)填入適當數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。分析與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應是99的兩位數(shù)的約數(shù)

12、，可能取值有11，33和99，再由商的個位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進而知AC-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出（見右式）。此類除法豎式應根據(jù)除法豎式的特點，如商的空位補0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。例6 把左下方除法算式中的*號換成數(shù)字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一定相同）。分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0，即商為。因為除數(shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。因為“除數(shù)9”是三位數(shù)，所以除數(shù)12；又因為“除數(shù)8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為980712117684。除法算式如上頁右式。