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1、一、無窮限反常積分二、無界函數(shù)反常積分6.4 反常積分上頁下頁鈴結束返回首頁第1頁一、無窮限反常積分v無窮限反常積分定義 在反常積分定義式中 假如極限是存在 則稱此反常積分收斂 不然稱此反常積分發(fā)散 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上反常積分定義為 下頁 類似地 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(b上和在區(qū)間()反常積分定義為 第2頁下頁一、無窮限反常積分v無窮限反常積分定義 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上反常積分定義為 反常積分計算 假如F(x)是f(x)原函數(shù) 則有 可采取以下簡記形式：第3頁一、無窮限反常積分v無窮限反常積分定義 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上反常積分定義為 反常積分計算 假如F(x)是f(

2、x)原函數(shù) 則有 類似地 有 下頁第4頁 解 例1 下頁第5頁提醒：例2 下頁 解 第6頁 解 例3 當p1時 此反常積分發(fā)散 首頁第7頁 二、無界函數(shù)反常積分注：假如函數(shù)f(x)在點x0任一鄰域內(nèi)都無界 那么點x0稱為函數(shù)f(x)瑕點(也稱為無界間斷點)無界函數(shù)反常積分又稱為瑕積分 v無界函數(shù)反常積分定義 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b上連續(xù) 點a為f(x)瑕點 函數(shù)f(x)在(a b上反常積分定義為下頁 在反常積分定義式中 假如極限是存在 則稱此反常積分收斂;不然稱此反常積分發(fā)散 第8頁 函數(shù)f(x)在a c)(c b上(c為瑕點)反常積分定義為 二、無界函數(shù)反常積分 類似地 函數(shù)f(x)在

3、a b)上(b為瑕點)反常積分定義為下頁v無界函數(shù)反常積分定義 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b上連續(xù) 點a為f(x)瑕點 函數(shù)f(x)在(a b上反常積分定義為第9頁 二、無界函數(shù)反常積分v無界函數(shù)反常積分定義 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b上連續(xù) 點a為f(x)瑕點 函數(shù)f(x)在(a b上反常積分定義為反常積分計算 假如F(x)為f(x)原函數(shù) 可采取簡記形式 則f(x)在(a b上反常積分為 下頁第10頁 二、無界函數(shù)反常積分v無界函數(shù)反常積分定義 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b上連續(xù) 點a為f(x)瑕點 函數(shù)f(x)在(a b上反常積分定義為反常積分計算 假如F(x)為f(x)原函數(shù) 則f(

4、x)在(a b上反常積分為 提問：f(x)在a b)上和在a c)(c b上反常積分怎樣計算？怎樣判斷反常積分斂散性？下頁第11頁所以點a為被積函數(shù)瑕點 解 例4 下頁第12頁 解 例5 下頁當c(acb)為瑕點時 第13頁 解 例6 當q1時 此反常積分發(fā)散 結束第14頁例7.解：求無窮間斷點,故 I 為反常積分.第15頁說明說明:(1)有時經(jīng)過換元,反常積分和常義積分能夠相互轉化.比如,(2)當一題同時含兩類反常積分時,應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上反常積分.第16頁(3)有時需考慮主值意義下反常積分.其定義為常積分收斂.注意注意:主值意義下反常積分存在不等于普通意義下反第17頁第18

5、頁例題例題 試證,并求其值.解解:令第19頁第20頁 函數(shù)函數(shù)1.定義定義第21頁2.性質(zhì)性質(zhì)(1)遞推公式證證:(分部積分)注意到:第22頁(2)證證:(3)余元公式:第23頁(4)得應用中常見積分這表明左端積分可用 函數(shù)來計算.比如,第24頁問題問題1:1:曲邊梯形面積曲邊梯形面積問題問題2:2:變速直線運動旅程變速直線運動旅程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定定積積分分性性質(zhì)質(zhì)定定積積分分計計算算法法牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容第25頁二、與定積分概念相關問題解法二、與定積分概念相關問題解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限用定積分概念與性質(zhì)求極限2.

6、用定積分性質(zhì)估值用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分相關問題與變限積分相關問題第26頁三、相關定積分計算和證實方法三、相關定積分計算和證實方法1.熟練利用定積分計算慣用公式和方法熟練利用定積分計算慣用公式和方法2.注意特殊形式定積分計算注意特殊形式定積分計算3.利用各種積分技巧計算定積分利用各種積分技巧計算定積分4.相關定積分命題證實方法相關定積分命題證實方法思索思索:以下作法是否正確以下作法是否正確?第27頁例例1.求求解解:因為因為時時,所以所以利用夾逼準則得利用夾逼準則得第28頁因為因為依賴于依賴于且且1)思索例思索例1以下做法對嗎以下做法對嗎?利用積分中值定理利用積分中值定理,原式原式不對不

7、對!說明說明:2)這類問題放大或縮小時普通應保留含參數(shù)項這類問題放大或縮小時普通應保留含參數(shù)項.第29頁解：將數(shù)列適當放大和縮小，以簡化成積分和：解：將數(shù)列適當放大和縮小，以簡化成積分和：已知已知利用利用夾逼準則夾逼準則可知可知例例2.求求第30頁思索思索:提醒提醒:由上題由上題故故第31頁練習練習:1.求極限求極限解：解：原式原式2.求極限求極限提醒：提醒：原式原式左邊左邊=右邊右邊第32頁例例3.預計以下積分值預計以下積分值解解:因為因為即即第33頁例例4.證實證實證證:令令則則令令得得故故第34頁例例5解：解：第35頁例例6解解第36頁例例8解解第37頁例例9解解令令第38頁例例10解解

8、第39頁例例11.選擇一個常數(shù)選擇一個常數(shù) c,使使解解:令令則則因為被積函數(shù)為奇函數(shù)因為被積函數(shù)為奇函數(shù),故選擇故選擇 c 使使即即可使原式為可使原式為 0.第40頁例例12解解是偶函數(shù)是偶函數(shù),第41頁例例13.設設解解:第42頁例例15證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)第44頁第45頁例例16解解(1)第46頁(2)第47頁第48頁第49頁例例17.解：解：且由方程且由方程確定確定 y 是是 x 函數(shù)函數(shù),求求方程兩端對方程兩端對 x 求導求導,得得令令 x=1,得得再對再對 y 求導求導,得得故故第50頁例例18.求可微函數(shù)求可微函數(shù) f(x)使?jié)M足使?jié)M足解解:等式兩邊對等式兩邊對 x 求導求導

9、,得得不妨設不妨設 f(x)0,則則第51頁注意注意 f(0)=0,得得第52頁例例19.求多項式求多項式 f(x)使它滿足方程使它滿足方程解解:令令則則代入代入原方程得原方程得兩邊求導兩邊求導:可見可見 f(x)應為二次多項式應為二次多項式,設設代入代入 式比較同次冪系數(shù)式比較同次冪系數(shù),得得故故再求導再求導:第53頁例例20.證實恒等式證實恒等式證證:令令則則所以所以又又故所證等式成立故所證等式成立.第54頁第55頁例例21.試證試證使使分析分析:要證要證即即故作輔助函數(shù)故作輔助函數(shù)最少存在一點最少存在一點第56頁證實證實:令令在在上連續(xù)上連續(xù),在在最少最少使使即即因在因在上上連續(xù)且不為連

10、續(xù)且不為0,從而不變號從而不變號,所以所以故所證等式成立故所證等式成立.故由羅爾定理知故由羅爾定理知,存在一點存在一點第57頁思索思索:本題能否用柯西中值定理證實本題能否用柯西中值定理證實?假如能假如能,怎樣設輔助函數(shù)怎樣設輔助函數(shù)?要證要證:提醒提醒:設輔助函數(shù)設輔助函數(shù) 第58頁例例22.設函數(shù)設函數(shù) f(x)在在a,b 上連續(xù)上連續(xù),在在(a,b)內(nèi)可導內(nèi)可導,且且(1)在在(a,b)內(nèi)內(nèi) f(x)0;(2)在在(a,b)內(nèi)存在點內(nèi)存在點 ,使使(3)在在(a,b)內(nèi)存在與內(nèi)存在與 相異點相異點 ,使使(03考研考研)第59頁證證:(1)由由 f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),知知 f(a

11、)=0.所以所以f(x)在在(a,b)內(nèi)單調(diào)增內(nèi)單調(diào)增,所以所以(2)設設滿足柯西中值定理條件滿足柯西中值定理條件,于是存在于是存在 第60頁即即(3)因因 在在a,上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理代入代入(2)中結論得中結論得所以得所以得 第61頁第62頁27.27.設設在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 可導，可導，且滿足且滿足證實：存在證實：存在 ，使得，使得第63頁28.(01)28.(01)設設則極限則極限29.(04)29.(04)設設則則第64頁30.設函數(shù)設函數(shù) 在區(qū)間上在區(qū)間上 圖形為：圖形為：1-2023-1O則函數(shù)則函數(shù)圖形為（圖形為（）0231-2-110231-2-110231-110231-2-11.第65頁31.連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上圖形分別是直徑為上圖形分別是直徑為1上圖形分別是直徑為上圖形分別是直徑為2下、下、則以下結論正確是：（則以下結論正確是：（）上、下半圓周，在區(qū)間上、下半圓周，在區(qū)間上半圓周，設上半圓周，設第66頁第67頁第68頁第一次第一次 單元測單元測 驗驗 題題第69頁