《反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件.ppt（43頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第1頁2 無窮積分性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分性質(zhì) 本節(jié)討論無窮積分性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無窮積分收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無窮積分收斂判別法三、普通函數(shù)無窮積分收斂判別法 第2頁收斂充要條件是收斂充要條件是:一、無窮積分性質(zhì)證證極限柯西準(zhǔn)則極限柯西準(zhǔn)則,此等價(jià)于此等價(jià)于(無窮積分收斂柯西準(zhǔn)則無窮積分收斂柯西準(zhǔn)則)無窮積分無窮積分 定理定理11.111.1第3頁性質(zhì)性質(zhì)1為任意常數(shù)為任意常數(shù),則則 即即依據(jù)反常積分定義依據(jù)反常積分定義,輕易導(dǎo)出以下性質(zhì)輕易導(dǎo)出以下性質(zhì)1 和性質(zhì)和性質(zhì)2.第4頁性質(zhì)性質(zhì)2第5頁h(x)在任意在任意 a,u上可積上可積,且且證證 因?yàn)橐驗(yàn)槭諗渴諗?由柯西準(zhǔn)則必要性由柯

2、西準(zhǔn)則必要性,例例1 1,f(x),g(x),若若第6頁再由柯西準(zhǔn)則充分性再由柯西準(zhǔn)則充分性,第7頁二、非負(fù)函數(shù)無窮積分收斂判別法定理定理11.2(非負(fù)函數(shù)無窮積分判別法非負(fù)函數(shù)無窮積分判別法)設(shè)定義在設(shè)定義在 上非負(fù)函數(shù)上非負(fù)函數(shù) f 在任何在任何收斂充要條件是收斂充要條件是:證證設(shè)設(shè)第8頁非負(fù)函數(shù)非負(fù)函數(shù) f,g 在任何有限區(qū)間在任何有限區(qū)間 a,u 上可積上可積,且且定理定理11.3(比較判別法比較判別法)設(shè)定義在設(shè)定義在 上兩個(gè)上兩個(gè)增增函數(shù)收斂判別準(zhǔn)則函數(shù)收斂判別準(zhǔn)則,從而從而 F(u)是單調(diào)遞增是單調(diào)遞增由單調(diào)遞由單調(diào)遞存在存在 滿足滿足第9頁證證 由非負(fù)函數(shù)無窮積分判別法由非負(fù)函

3、數(shù)無窮積分判別法,第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論逆否命題第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論逆否命題,所以也成立所以也成立.第10頁例例2 判別判別收斂性收斂性.解解 顯然顯然設(shè)設(shè) f(x),g(x)是是 上非負(fù)連續(xù)函數(shù)上非負(fù)連續(xù)函數(shù).證證 例例3 3 第11頁推論推論1 1 設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù) f 和和 g 在任何在任何 a,u 上可積上可積,且且證證 因?yàn)橐驗(yàn)?第12頁證證 即即 第13頁第14頁推論推論2 設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在 上非負(fù)函數(shù)上非負(fù)函數(shù),在任何在任何第15頁限區(qū)間限區(qū)間 a,u 上可積上可積.推論推論3設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在 上非負(fù)函數(shù)上非負(fù)函數(shù),在任何有在任何有說明說明:推論推論3

4、3是推論是推論2 2極限形式，讀者應(yīng)不難寫極限形式，讀者應(yīng)不難寫出它證實(shí)出它證實(shí).第16頁例例4 討論討論收斂性收斂性(k 0).解解(i)第17頁若無窮積分若無窮積分以下定理可用來判別普通函數(shù)無窮積分收斂性以下定理可用來判別普通函數(shù)無窮積分收斂性.三、普通函數(shù)無窮積分判別法何何有限區(qū)間有限區(qū)間 a,u上可積上可積,定理定理11.411.4 (絕對收斂無窮積分必收斂絕對收斂無窮積分必收斂)若若 f 在任在任第18頁所以所以再由柯西準(zhǔn)則充分性再由柯西準(zhǔn)則充分性,又對任意又對任意 證證由柯西準(zhǔn)則必要性由柯西準(zhǔn)則必要性,對對因因第19頁收斂無窮積分收斂無窮積分不一定是絕對收斂不一定是絕對收斂.例例5

5、收斂性收斂性.判別判別解解 因?yàn)橐驗(yàn)榈?0頁瑕積分性質(zhì)與收斂判別,與無窮積3 瑕積分性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論,并舉 分性質(zhì)與收斂判別相類似.所以本節(jié) 例加以應(yīng)用,而不再進(jìn)行重復(fù)論證.第21頁定理定理11.7 （瑕積分收斂柯西準(zhǔn)則）（瑕積分收斂柯西準(zhǔn)則）證證柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于第22頁性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2 第23頁性質(zhì)性質(zhì)3定理定理11.8 (非負(fù)函數(shù)瑕積分判別法非負(fù)函數(shù)瑕積分判別法)第24頁定理定理11.9 (比較法則比較法則)第25頁推論推論1第26頁推論推論2第27頁推論推論3能夠判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分收斂性能夠判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分收斂性.第28頁例例1

6、因?yàn)橐驗(yàn)榈?9頁例例2解解第30頁例例3解解第31頁第32頁aa 00 a 1a 1I(a)發(fā)散發(fā)散收斂收斂定積分定積分J(a)收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散 (a)發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散發(fā)散第33頁*普通函數(shù)無窮積分狄利克雷普通函數(shù)無窮積分狄利克雷判判定理定理11.5(狄利克雷判別法）狄利克雷判別法）證證故故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.第34頁使得使得第35頁所以所以,由柯西準(zhǔn)則，由柯西準(zhǔn)則，證證 證法證法1定理定理11.6(阿貝爾判別法阿貝爾判別法)由由 g 單調(diào)性單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意用積分第二中值定理，對于任意 使得使得第36頁由柯西準(zhǔn)則由柯西準(zhǔn)則,證法證法2第37頁由狄利克雷判別法由狄利克雷判別法例例6收斂性收斂性.收斂收斂.收斂收斂,所以所以解解第38頁由狄利克雷判別法推知由狄利克雷判別法推知另首先，另首先，狄利克雷判別狄利克雷判別法條件法條件,是收斂；是收斂；第39頁類似可證類似可證:第40頁積分第二中值定理積分第二中值定理1)定理定理9.11第41頁2)推論推論證實(shí)證實(shí):第42頁所以證得所以證得第43頁