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1、配餐作業(yè)(十七)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(時間：40分鐘)1已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析(1)f(x)3x23a3(x2a)，當a0；所以當a0時，由f(x)0，解得x。由f(x)0，解得x0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，(，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，)。(2)因為f(x)在x1處取得極值，所以f(1)3(1)23a0，所以a1。所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21。由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1

2、)1，在x1處取得極小值f(1)3。因為直線ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不同的交點，結(jié)合如圖所示f(x)的圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是(3,1)。答案(1)見解析(2)(3,1)2已知f(x)x23x1，g(x)x。(1)a2時，求yf(x)和yg(x)的公共點個數(shù)；(2)a為何值時，yf(x)和yg(x)的公共點個數(shù)恰為兩個。解析(1)a2時，由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)。令yx3x2x2，求導(dǎo)得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得極值分別在x1和x處取得，且極大值、極小值都是負值。所以x3x2x20的解只有一個，即yf(x)與yg(x)的公共點只有一個。(2)

3、由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，聯(lián)立h(x)0可以得到極值點分別是x1和x，畫出草圖，如圖所示，h(1)1，h，當ah(1)1時，ya與yh(x)僅有一個公共點(因為(1,1)點不在yh(x)曲線上)，故a時恰有兩個公共點。答案(1)一個(2)3設(shè)函數(shù)f(x)aex(x1)(其中e2.718 28)，g(x)x2bx2，已知它們在x0處有相同的切線。(1)求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在t，t1(t3)上的最小值；(3)判斷函數(shù)F(x)2f(x)g(x)2的零點個數(shù)。解析(1)f(x)aex(x2)，g(x)2xb。由題意，兩函數(shù)在x

4、0處有相同的切線，f(0)2a，g(0)b。2ab，f(0)ag(0)2，a2，b4。f(x)2ex(x1)，g(x)x24x2。(2)由(1)得f(x)2ex(x2)。由f(x)0得x2，由f(x)0得x3，t12。當3t2時，f(x)在t，2上單調(diào)遞減，在2，t1上單調(diào)遞增，f(x)minf(2)2e2。當t2時，f(x)在t，t1上單調(diào)遞增，f(x)minf(t)2et(t1)。當3t0得xln2或x2，由F(x)0得2x0，F(xiàn)(4)4e4(41)161612e40)。(1)求f(x)的極值；(2)若k2 016，關(guān)于x的方程f(x)2ax有唯一解，求a的值。解析(1)定義域為(0，)，

5、f(x)2x(1)k2a，當k為奇數(shù)時，f(x)2x0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(x)無極值；當k為偶數(shù)時，f(x)2x，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，f(x)有極小值，f(x)極小值f()a2alnaalna。(2)k2 016，則f(x)x22alnx，令g(x)x22alnx2ax，g(x)2x2a(x2axa)，令g(x)0，x2axa0，a0，x0，x0。當x(0，x0)時，g(x)0，g(x)在(x0，)上單調(diào)遞增，又g(x)0有唯一解，即兩式相減得2alnx0ax0a02lnx0x010，解得x01，a。答案(1)當k為奇數(shù)時，f(x)無極值；當k為偶

6、數(shù)時，f(x)無極大值有極小值aalna(2)(時間：20分鐘)1設(shè)函數(shù)f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0。(1)當m1時，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，x1，x2，且x1f(1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。解析(1)當m1時，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1，即曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為1。(2)f(x)x22xm21x(1m)x(1m)，令f(x)0，得x1m或x1m，m0，故1m1m，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如表：x(，1

7、m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1m)，(1m，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1m,1m)，于是函數(shù)f(x)在x1m處取得極小值f(1m)m3m2；在x1m處取得極大值f(1m)m3m2。(3)由題設(shè)知f(x)x x(xx1)(xx2)，所以方程x2xm210有兩個相異的非零實根x1，x2，故由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x23且1(m21)0，解得m或m(舍去)，因為x1x1x23x21，若x110，而f(x1)0，不合題意，若1x10，xx10，xx20，所以f(x)x(xx1)(xx2)0。又f(x1)f(x2)0

8、，故f(x)在x1，x2上的最小值為0，于是對xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，得f(1)m20m。綜上，實數(shù)m的取值范圍是。答案(1)1(2)見解析(3)2(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點。(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1x20，則當x(，1)時，f(x)0，所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增。又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在兩個零點。設(shè)a0，因此，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增。又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點。若a1，故當x(1，ln(2a)時，f(x)0。因此f(x)在(1，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增。又當x1時f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點。綜上，a的取值范圍為(0，)。(2)不妨設(shè)x1x2。由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1時，g(x)1時，g(x)0。從而g(x2)f(2x2)0，故x1x22。答案(1)(0，)(2)見解析