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1、第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)。1.以考查Sn與an的關系為主，簡單的遞推關系也是考查的熱點；2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，特別是Sn與an的關系，對以后研究數(shù)列的通項有很重要的作用。2015，全國卷，17,12分(遞推通項、求和)2014，全國卷，17,12分(遞推、通項、等差)2014，全國卷，17,12分(遞推、等比、求和)2016，浙江卷，13,6分(an與Sn的關系)微知識小題練自|主|排|查1數(shù)列的有關概念(1)

2、數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。(2)數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列(3)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法。2數(shù)列的通項公式(1)數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。(2)已知數(shù)列an的前n項和Sn，則an

3、微點提醒1數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，數(shù)列an為a1，a2，a3，an。而集合a1，a2，a3，an的元素沒有順序。2數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號。求數(shù)列的通項公式就是找出數(shù)列的項an與項數(shù)n的函數(shù)關系式。根據(jù)數(shù)列的前幾項求出的數(shù)列的通項公式不唯一。3數(shù)列不僅有遞增數(shù)列、遞減數(shù)列，還有常數(shù)列、擺動數(shù)列。4已知Sn求an，要對n1和n2兩種情況進行討論。小|題|快|練一 、走進教材1(必修5P31例3改編)在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5()A. B.C. D.【解析】由已知得，a2112，a311，a4113，a511。故選D。【答案】D2(必

4、修5P33A組T5改編)觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交所得的交點最多有_個。【解析】依題意，設an為n條直線相交最多的交點個數(shù)，則a21，anan1(n1)，n3，而anan1n1，由累加法求得an12(n1)，所以a1045?！敬鸢浮?5二、雙基查驗1數(shù)列3,7，11,15，的通項公式可能是()Aan4n7 Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1) Dan(1)n1(4n1)【答案】C2設數(shù)列an的前n項和Snn2，則a8的值為()A15 B16C49 D64【解析】Snn2，a1S11。當n2時，anSnSn1n2(n1)22n1。當n1時符合上式，an2n

5、1，a828115。故選A?！敬鸢浮緼3(2016赤峰模擬)已知數(shù)列an滿足a10，an1，nN*，則a2 015等于()A0 BC. D.【解析】根據(jù)題意，由于數(shù)列an滿足a10，an1，那么可知a10，a2，a3，a40，a5，a6，故可知數(shù)列的周期為3，那么可知a2 015a2。故選B。【答案】B4已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則an_。【解析】當n1時，a1S12，當n2時，anSnSn1n21(n1)212n1，故an【答案】5已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，則an_?！窘馕觥恳驗閍n13an2，所以an113(an1)，所以3，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a1

6、12，所以an123n1，所以an23n11?！敬鸢浮?3n11微考點大課堂考點一 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【典例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式。(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，?！窘馕觥?1)數(shù)列中各項的符號可通過(1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an(1)n(6n5)。(2)數(shù)列變?yōu)?，故an。(3)各項的分母分別為21,22,23,24，易看出第2,3,4項的分子分別比分母小3。因此把第1項變?yōu)?，原?shù)列化為，故an(1)n。【答案】(1)an(1)n(6n5)(2)an(3)a

7、n(1)n反思歸納求數(shù)列的通項公式應關注的四個特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后的特征；(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、化歸、聯(lián)想?！咀兪接柧殹?1)(2016長沙一模)已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是()Aan(1)n11 BanCan2sin Dancos(n1)1(2)(2017沈陽模擬)已知數(shù)列，根據(jù)前三項給出的規(guī)律，則實數(shù)對(a，b)可能是()A(19,3) B(19，3)C. D.【解析】(1)對n1,2,3,4進行驗證，an2sin不合題意，故選C。(2)由前三項可知，該數(shù)列的通項公式可能為an，所以即故選

8、C。【答案】(1)C(2)C考點二 由an與Sn的關系求通項公式【典例2】(1)(2016益陽調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，an1Sn1，其中nN*，則數(shù)列an的通項公式是an_。(2)(2016浙江高考)設數(shù)列an的前n項和為Sn。若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_?！窘馕觥?1)當n2時，由得an1anSnSn1an，即an12an，又因為當n1時，a2112，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列an的通項公式是an2n1。(2)由于，解得a11。由an1Sn1Sn2Sn1得Sn13Sn1，所以Sn13，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所

9、以Sn3n1，即Sn，所以S5121?！敬鸢浮?1)2n1(2)1121反思歸納Sn與an關系問題的求解思路根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化。利用anSnSn1(n2)轉化為只含Sn，Sn1的關系式，利用SnSn1an(n2)轉化為只含an，an1的關系式，再求解?！咀兪接柧殹?2016丹東模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1 B.n1C.n1 D.【解析】解法一：因為Sn2an1，所以當n2時，Sn12an，所以anSnSn12an12an(n2)，即(n2)，又a2，所以ann2(n2)。當n1時，a111，所以an所以Sn2an1

10、2n1n1。故選B。解法二：由Sn2an12(Sn1Sn)得Sn1Sn，又S1a11，SnS1n1n1。故選B?！敬鸢浮緽考點三 由數(shù)列的遞推關系求通項公式母題發(fā)散【典例3】設數(shù)列an中，a12，an1ann1，則an_?！窘馕觥坑蓷l件知an1ann1，則an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2。【答案】【母題變式】1.若將本典例“an1ann1”改為“an1an”，如何求解？【解析】an1an，ana1，2?！敬鸢浮縜n2若將本典例“an1ann1”改為“an1”，如何求解？【解析】an1，a12，an0，即，又a12，則，是以為首項，為公差的等差數(shù)列。(n1

11、)，an?！敬鸢浮縜n3若將本典例條件換為“a11，an1an2n”，如何求解？【解析】an1an2n，an2an12n2，故an2an2，即數(shù)列an是奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列。當n為偶數(shù)時，a21，故ana22n1。當n為奇數(shù)時，an1an2n，an1n(n1為偶數(shù))，故ann。綜上所述，ann1，nN*。【答案】ann1，nN*反思歸納由遞推關系式求通項公式的常用方法1已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an。2已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an。3已知a1且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為等比數(shù)列ank?？键c四 數(shù)列

12、的性質(zhì)多維探究角度一：數(shù)列的周期性【典例4】(1)在數(shù)列an中，a11，a25，an2an1an(nN*)，則a2 015等于_。(2)(2016大興一中模擬)數(shù)列an滿足an1a1，則數(shù)列的第2 017項為_?！窘馕觥?1)解法一：由a11，a25，an2an1an(nN*)可得該數(shù)列為1,5,4，1，5，4,1,5,4，。由此可得a2 015a33565a55。解法二：an2an1an，an3an2an1，兩式相加可得an3an，an6an。a2 015a33565a55。(2)a1，a22a11。a32a2。a42a3。a52a41，a62a51，。該數(shù)列周期為T4。a2 017a1。【

13、答案】(1)5(2)角度二：數(shù)列的單調(diào)性【典例5】已知數(shù)列an的通項an(n1)n(nN*)，試問該數(shù)列an有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由?！窘馕觥縜n1an(n2)n1(n1)nn，當n0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an。故a1a2a3a11a12，數(shù)列an有最大項a9或a10，其值為109，其項數(shù)為9或10?！敬鸢浮繑?shù)列an中有最大項a9或a10，其值為109，其項數(shù)為9或10。反思歸納1.解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下兩種方法(1)作差比較法：根據(jù)an1an的符號判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常

14、數(shù)列。 (2)作商比較法：根據(jù)(an0或an0)與1的大小關系進行判斷。2解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值。微考場新提升1若數(shù)列an，則a5a4()A.BC.D.解析a5，a4，a5a4。故選C。答案C2已知數(shù)列an的前n項和Sn，則a3a4等于()A. B. C. D.解析a3a4S4S2。故選D。答案D3已知數(shù)列an的通項公式為ann22n(nN*)，則“0，即2n12對任意的nN*都成立，于是有32，。由1可推得，但反過來，由不能得到1，因此“1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A。答案A4數(shù)列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，則a7_。解析由已知an1anan2，a11，a22，能夠計算出a31，a41，a52，a61，a71。答案15已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn2ann，則an_。解析當n1時，S1a12a11，得a11，當n2時，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，數(shù)列an1是首項為a112，公比為2的等比數(shù)列，an122n12n，an2n1。答案2n1