《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義課件2 新人教A版必修4.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義課件2 新人教A版必修4.ppt（48頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.2平面向量的線性運(yùn)算 2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義,1.向量的加法 (1)定義:求_的運(yùn)算,叫做向量的加法. (2)法則:按照_法則或_法則進(jìn)行. (3)規(guī)定:對(duì)于零向量與任意向量a,我們規(guī)定a+0=_=a. (4)結(jié)論:|a+b|_|a|+|b|. 2.向量加法的運(yùn)算律 (1)交換律:a+b=_. (2)結(jié)合律:(a+b)+c= _.,兩個(gè)向量和,三角形,平行四邊形,0+a,b+a,a+(b+c),1.判一判(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)向量相加,所得結(jié)果有可能是一個(gè)數(shù)量.() (2)兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加.() (3)向量的加法的平行四邊形法則適合任何兩個(gè)向

2、量相加.(),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)矩形ABCD中, =. (2)若a與b同向,則|a+b|=. (3) =.,知識(shí)點(diǎn)1 向量的加法 1.向量的和及其物理背景 兩向量的和仍是一個(gè)向量.向量的加法就是求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,是物理學(xué)中位移、力的合成等在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的抽象概括.,2.三角形法則和平行四邊形法則,3.對(duì)|a|-|b|a+b|a|+|b|成立的說(shuō)明 (1)當(dāng)a,b有一個(gè)為零向量時(shí),不等式顯然成立. (2)當(dāng)a,b不共線時(shí),作 =a, =b,則a+b= ,如圖所示, 根據(jù)三角形邊長(zhǎng)關(guān)系,有|a|-|b|a+b|a|+|b|. (3)當(dāng)a,b非零且同向時(shí),作 =a, =b

3、,則a+b= ,如圖 所示,此時(shí)|a+b|=|a|+|b|.,(4)當(dāng)a,b非零且反向時(shí),若|a|b|. 作 =a, =b,則a+b= ,如圖所示,此時(shí)|a+b|=|a|- |b|.同理可證|a|b|時(shí),|a+b|=|b|-|a|； |a|=|b|,|a+b|=0=|a|-|b|. 綜上分析可知|a|-|b|a+b|a|+|b|.,【知識(shí)拓展】向量求和的多邊形法則 (1)已知n個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末 尾向量的終點(diǎn)的向量即為這n個(gè)向量的和，這稱為向量求和的 多邊形法則. 即 (2)首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則 它們的和為0.,【思考】 (1)在使用三

4、角形法則和平行四邊形法則時(shí)應(yīng)注意什么? 提示:在使用三角形法則時(shí)應(yīng)注意“首尾連接”;在使用平行四邊形法則時(shí)應(yīng)注意兩向量起點(diǎn)相同. (2)當(dāng)涉及多個(gè)向量相加時(shí),一般利用向量的哪個(gè)法則求和? 提示:當(dāng)涉及多個(gè)向量相加時(shí),一般利用三角形法則求和.,【即時(shí)練】 1.化簡(jiǎn) 等于() 2.如圖,正六邊形ABCDEF中, =.,【解析】1.選B. 2.根據(jù)正六邊形的性質(zhì),我們易得 答案:,知識(shí)點(diǎn)2 向量加法的運(yùn)算律 1.向量加法的交換律 在圖(1)中的平行四邊形ABCD中, =a, =b,則 =a+b, =b+a,故a+b=b+a.即向量加 法滿足交換律.,當(dāng)向量a,b至少有一個(gè)為零向量時(shí),交換律顯然成立,

5、當(dāng)a,b為非零向量且共線時(shí), (1)當(dāng)a,b同向時(shí),向量a+b與a同向,且|a+b|=|a|+|b|;向量b+a與b同向,且|b+a|=|b|+|a|,故a+b=b+a.,(2)當(dāng)a,b反向時(shí),不妨設(shè)|a|b|,a+b與a同向,且|a+b|=|a|-|b|;b+a與a同向,且|b+a|=|a|-|b|,故a+b=b+a.,2.向量加法的結(jié)合律 在圖(2)中, =a+b, =b+c,所以 = =(a+b)+c, =a+(b+c),從而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法滿足結(jié)合律.,3.向量加法運(yùn)算律的推廣 向量加法的交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量仍然成立,恰當(dāng)?shù)厥褂?運(yùn)算律可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算的目

6、的.如在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn) 算時(shí),可以按照任意的次序和任意的組合進(jìn)行.如(a+b)+(c+d)= (a+d)+(b+c).,【微思考】 (1)向量加法的交換律中向量b可以是零向量嗎? 提示:可以.若b=0,則a+0=0+a=a. (2)試舉例說(shuō)明向量加法的運(yùn)算律是如何簡(jiǎn)化運(yùn)算的? 提示:用交換律、結(jié)合律可以將多個(gè)向量相加轉(zhuǎn)化為首尾相接 的形式,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算.如,【即時(shí)練】 1. 化簡(jiǎn)后等于 () 2.在平行四邊形ABCD中, =. 【解析】1.選B.因?yàn)?2. 答案:,【題型示范】 類型一 向量的加法及運(yùn)算律 【典例1】 (1)設(shè)a= b是任一非零向量,則在下列結(jié) 論中,ab;a+b=a;a

7、+b=b;|a+b|a|+|b|;|a+b| =|a|+|b|. 其中正確的序號(hào)為.,(2)如圖, 已知向量a,b,c,求作向量a+b或a+b+c.,【解題探究】1.題(1)中在判斷向量a與向量b的關(guān)系時(shí)應(yīng)先對(duì)向量a如何處理? 2.題(2)中的兩向量相加可用哪種方法進(jìn)行? 中的向量a與向量b有何關(guān)系?,【探究提示】1.先化簡(jiǎn)向量a,再依據(jù)向量平行、向量加法及|a+b|與|a|+|b|的關(guān)系解答. 2.中的兩向量相加可用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行.中的向量a與向量b是共線向量.,【自主解答】(1)因?yàn)?=0,所以a=0,所以0b,正確;0+b=b,正確;|0+b|=|b|+|0|, 正確.

8、答案:,(2)方法一:在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O,作 =a, =b,則 =a+b(如圖1). 方法二:在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O,以O(shè)A,OB為鄰邊作OACB,且 =a, =b,連接OC,則 =a+b(如圖2).,在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O(如圖3),作 =a, =b, =c,則 =a+b+c.,【延伸探究】若在題(1)的序號(hào)中添加上“|a|0,故正確. 答案:,【方法技巧】向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則 (1)意義:向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù),實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律,故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行. (2)應(yīng)用原則

9、:利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.,【變式訓(xùn)練】1.下列結(jié)論正確的是() A.如果非零向量a,b的方向相反或相同,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同 B.若 =0,則A,B,C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn) C.設(shè)a0,若a(a+b),則ab D.若|a+b|=|a|-|b|,則b=0 【解題指南】對(duì)于選項(xiàng)B,要考慮三點(diǎn)是否共線,三點(diǎn)共線則構(gòu)不成三角形.,【解析】選C.A錯(cuò)誤,因?yàn)閍+b有可能為0,若a+b為0,則方向是任 意的,可以與a,b的方向都不相同;B錯(cuò)誤, =0,則A, B,C三點(diǎn)可以共線,無(wú)法構(gòu)成三角形;C正確,a0,當(dāng)b=

10、0時(shí),顯然 有ab;當(dāng)b0時(shí),若a,b不共線,則a+b與a的方向既不相同也 不相反,與a(a+b)不符;D錯(cuò)誤,若|a+b|=|a|-|b|,則有可能 a,b反向,且|a|b|,b0.,2.已知梯形ABCD,ADBC,O為對(duì)角線交點(diǎn),則 =. 【解析】 答案:,【補(bǔ)償訓(xùn)練】 如圖,在平行四邊形ABCD中, (1) =; (2) =; (3) =;,【解析】(1) (2) (3) 答案:(1) (2) (3),類型二 向量加法的實(shí)際應(yīng)用 【典例2】 (1)若a表示向東走8 km,b表示向北走8 km,則|a+b|= km, a+b的方向是. (2)一航船以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛,

11、航船實(shí)際航 行方向與水流方向成30角,求水流速度和船實(shí)際航行的速度.,【解題探究】1.題(1)中的長(zhǎng)度及方向可借助什么來(lái)求? 2.題(2)中求水流速度及船實(shí)際航行的速度可用向量加法的什么法則? 【探究提示】1.借助直角三角形求解. 2.用加法的平行四邊形法則.,【自主解答】(1)設(shè) =a, =b,則 =a+b. 又因?yàn)閨 |=8,| |=8,所以| |=|a+b|=8 . 又因?yàn)锳OC=45,所以a+b的方向是北偏東45. 答案:8 北偏東45,(2)如圖所示, 表示水流速度, 表示船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度, 表示船實(shí)際航行的速度,AOC=30,| |=5.因?yàn)樗倪呅?OACB為矩形,所以

12、 故水流的速度為5 km /h,船實(shí)際航行的速度為10 km /h.,【方法技巧】應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學(xué)問(wèn)題的基本步驟 (1)表示:用向量表示有關(guān)量,將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題. (2)運(yùn)算:應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,將相關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算,解答向量問(wèn)題. (3)還原:根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果,結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】作用在同一物體上的兩個(gè)力,|F1|=60 N,|F2|= 80 N,當(dāng)它們的夾角為90時(shí),則這兩個(gè)力的合力為N. 【解題指南】求這兩個(gè)力的合力就是求向量F1+F2.因?yàn)橐訤1和 F2為鄰邊作的平行四邊形是矩形,由此可利用勾股定理求矩形 的

13、對(duì)角線的長(zhǎng),即合力的大小.,【解析】如圖所示, 表示力F1, 表示力F2, 以O(shè)A,OB為鄰邊作OACB, 則 是F1和F2的合力. 在OAC中,| |=60,| |=| |=80 且OAAC, 則| |= =100(N), 即合力的大小為100 N. 答案:100,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以v1的速度向垂直于對(duì)岸的 方向行駛,同時(shí)河水的流速為v2,船實(shí)際航行的速度的大小為 4 km/h,方向與水流間的夾角是60,求v1和v2的大小. 【解析】由題意,得|v1|=4sin 60=2 (km/h),|v2|=4 cos 60=2(km/h).,2.如圖所示,在平行四邊形ABCD的對(duì)角線B

14、D的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,E,使BE=DF. 求證:四邊形AECF是平行四邊形.,【證明】 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四 邊形,所以 因?yàn)锽E=DF,且 與 的方向相同,所以 所以 即AE與FC平行且相等,所以四邊形AECF 是平行四邊形.,【易錯(cuò)誤區(qū)】未能理解向量的加法而致誤 【典例】小船以10 k m/h的靜水速度按垂直于對(duì)岸的方向 行駛,同時(shí)河水的流速為10 km /h,則小船實(shí)際航行速度的大小 為km /h.,【解析】如圖, 設(shè)船在靜水中的速度為|v1|=10 km/h,河水的流速為|v2|= 10 km/h,小船實(shí)際航行速度為v0,則由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得 (1

15、0 )2+102=|v0|2,所以|v0|=20 km/h,即小船實(shí)際航行速度 的大小為20 km/h. 答案:20,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.深入理解向量的和 向量的和一般不能直接用模作和,要注意向量的方向的合成,如本例中用兩個(gè)速度不能直接作和. 2.理解三種速度間的關(guān)系 船在靜水中的航行速度,水流的速度,船實(shí)際的航行速度三者間當(dāng)航行方向與水流方向不共線時(shí)不能直接求實(shí)際航行速度,如本例中兩個(gè)方向垂直,利用勾股定理求速度的大小.,【類題試解】一艘船以4 km /h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km /h,則經(jīng)過(guò)3小時(shí),該船的實(shí)際航程為km.,【解析】由題意,如圖, 表示水流速度, 表示船在靜水中 的速度,則 表示船的實(shí)際速度. 則| |=2,| |=4,AOB=120,則CBO=60, 又因?yàn)锳OC=BCO=90,所以| |=2 , 所以船的實(shí)際航行速度為2 km/h,則實(shí)際航程為2 3= 6 (km). 答案:6,