《高中數(shù)學(xué)必修二示范教案(直線與圓的位置關(guān)系-第課時)公開課教案課件教案課件.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)必修二示范教案(直線與圓的位置關(guān)系-第課時)公開課教案課件教案課件.doc（13頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第2課時導(dǎo)入新課思路1.一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處,受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40 km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？圖2分析：如圖2,以臺風(fēng)中心為原點O,以東西方向為x軸,建立直角坐標(biāo)系,其中,取10 km為單位長度.則臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓心為O的圓的方程為x2+y2=9；輪船航線所在的直線l的方程為4x+7y-28=0.問題歸結(jié)為圓心為O的圓與直線l有無公共點.因此我們繼續(xù)研究直線與圓的位置關(guān)系.推進新課新知探究提出問題過圓上一點可作幾條切線？如何求出切線

2、方程？過圓外一點可作幾條切線？如何求出切線方程？過圓內(nèi)一點可作幾條切線？你能概括出求圓切線方程的步驟是什么嗎？如何求直線與圓的交點？如何求直線與圓的相交弦的長?討論結(jié)果：過圓上一點可作一條切線,過圓x2+y2=r2上一點(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.過圓外一點可作兩條切線,求出切線方程有代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法的關(guān)鍵是把直線與圓相切這個幾何問題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立它們的方程組只有一個解的代數(shù)問題.可通過一元二次方程有一個實根的充要條件=0去求出k的值,從而求出切線的方

3、程.用幾何方法去求解,要充分利用直線與圓相切的幾何性質(zhì),圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.過圓內(nèi)一點不能作圓的切線.求圓切線方程,一般有三種方法,一是設(shè)切點,利用中的切線公式法;二是設(shè)切線的斜率,用判別式法;三是設(shè)切線的斜率,用圖形的幾何性質(zhì)來解,即圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.把直線與圓的方程聯(lián)立得方程組,方程組的解即是交點的坐標(biāo).把直線與圓的方程聯(lián)立得交點的坐標(biāo),結(jié)合兩點的距離公式來求;再就是利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系來求.應(yīng)用示例思路1例1 過點P(-2,0)向圓x2+y2=1引切線,求切線的方程.圖3解:如圖3,方法一:設(shè)所求切線的斜率為k

4、,則切線方程為y=k(x+2),因此由方程組得x2+k2(x+2)2=1.上述一元二次方程有一個實根,=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=,所以所求切線的方程為y=(x+2).方法二:設(shè)所求切線的斜率為k,則切線方程為y=k(x+2),由于圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),所以d=1,解得k=.所以所求切線的方程為y=(x+2).方法三：利用過圓上一點的切線的結(jié)論.可假設(shè)切點為(x0,y0),此時可求得切線方程為x0x+y0y=1.然后利用點(-2,0)在切線上得到-2x0=1,從中解得x0=-.再由點(x0,y0)在圓上,所以滿足x02+y02=1,既+y0

5、2=1,解出y0=.這樣就可求得切線的方程為,整理得y=(x+2).點評:過圓外一點向圓可作兩條切線；可用三種方法求出切線方程,其中以幾何法“d=r”比較好(簡便).變式訓(xùn)練 已知直線l的斜率為k,且與圓x2+y2=r2只有一個公共點,求直線l的方程.活動：學(xué)生思考,觀察題目的特點,見題想法,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時給予提示,直線與圓只有一個公共點,說明直線與圓相切.可利用圓的幾何性質(zhì)求解.圖4解:如圖4,方法一:設(shè)所求的直線方程為y=kx+b,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,得d=r,b=r,求得切線方程是y=kxr.方法二:設(shè)所求的直線方程為y=kx+b,直線l與圓x2+y2=r

6、2只有一個公共點,所以它們組成的方程組只有一組實數(shù)解,由,得x2+k2(x+b)2=1,即x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,=0得b=r,求得切線方程是y=kxr.例2 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點為A(1,2),要使過定點A(1,2)作圓的切線有兩條,求a的取值范圍.活動：學(xué)生討論,教師指導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,教師對學(xué)生解題中出現(xiàn)的問題及時處理,利用幾何方法,點A(1,2)在圓外,即到圓心的距離大于圓的半徑.解:將圓的方程配方得(x+)2+(y+1)2=,圓心C的坐標(biāo)為(,1),半徑r=,條件是43a20,過點A(1,2)所作圓的切線有兩條,則點A必在圓外,

7、即.化簡,得a2+a+90,由解得a,aR.所以a.故a的取值范圍是(,).點評:過圓外一點可作圓的兩條切線,反之經(jīng)過一點可作圓的兩條切線,則該點在圓外.同時注意圓的一般方程的條件.思路2例1 已知過點M(-3,-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為45,求直線l的方程.活動：學(xué)生思考或討論,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,求直線l的方程,一般設(shè)點斜式,再求斜率.這里知道弦長,半徑也知道,所以弦心距可求,如果設(shè)出直線的方程,由點到直線的距離等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦長公式,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.解法一：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式有x2+(y+2)2=25,所以

8、圓心為(0,-2),半徑為5.因為直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為4,所以弦心距為=,圓心到直線的距離為,由于直線過點M(-3,-3),所以可設(shè)直線l的方程為y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根據(jù)點到直線的距離公式,圓心到直線的距離為,因此d=,兩邊平方整理得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.所以所求的直線l的方程為y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.解法二：設(shè)直線l和已知圓x2+y2+4y-21=0的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的斜率為k,由于直線過點M(-3,-3),所以可設(shè)直線l的方程為

9、y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3.代入圓的方程x2+y2+4y-21=0,并整理得(1+k2)x2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有x1+x2=,x1x2=. |AB|=因為|AB|=45,所以有(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=80. 把式代入式,得(1+k2)2-4=80.經(jīng)過整理,得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.所以所求的直線l的方程為y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.點評:解法一突出了適當(dāng)?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)有助于簡化計算,強調(diào)圖形在解題中的作用,加強了數(shù)形結(jié)合;解法

10、二是利用直線被曲線截得的弦長公式求出斜率后求直線方程,思路簡單但運算較繁.變式訓(xùn)練 已知圓C：x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.(1)求證：對mR,直線l與圓C總有兩個不同交點;(2)設(shè)l與圓C交于不同兩點A、B,若|AB|=,求l的傾斜角;(3)求弦AB的中點M的軌跡方程;(4)若定點P(1,1)分弦AB為=,求此時直線l的方程.解:(1)判斷圓心到直線的距離小于半徑即可,或用直線系過定點P(1,1)求解;點P(1,1)在圓內(nèi).(2)利用弦心距、半徑、弦構(gòu)成的直角三角形求弦長,得m=,所以=或.(3)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),連結(jié)CM、CP,因為C(0,1),P(1,1),

11、|CM|2+|PM|2=|CP|2,所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得軌跡方程為x2+y2-x-2y+1=0(x1).(4)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由=,得=1. 又由直線方程和圓的方程聯(lián)立消去y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, (*)故x1+x2=, 由,得x1=,代入(*),解得m=1.所以直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0.例2 已知直線l:y=k(x+2)與圓O:x2+y2=4相交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,ABO的面積為S,試將S表示成k的函數(shù)S(k),并指出它的定義域；求S的最大值,并求出取得最大值時的k值.活動：學(xué)生審

12、題,再思考討論,教師提示學(xué)生欲求ABO的面積,應(yīng)先求出直線被圓截得的弦長|AB|,將|AB|表示成k的函數(shù).圖5解:如圖5所示,直線的方程為kx-y+2k=0(k0),點O到l之間的距離為|OC|=,弦長|AB|=2，ABO的面積S=|AB|OC|=，|AB|0,-1k1(k0).S(k)=(-1k1且k0).ABO的面積S=|OA|OB|sinAOB=2sinAOB,當(dāng)AOB=90時,Smax=2,此時|OC|=,|OA|=2,即=,k=.點評：在涉及到直線被圓截得的弦長時,要巧妙利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì),如本題中的RtBOC,其中|OB|為圓半徑,|BC|為弦長的一半.變式訓(xùn)練 已知x,y滿足

13、x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值.活動:學(xué)生審題,再思考討論,從表面上看,此問題是一個代數(shù),可用代數(shù)方法來解決.但細想后會發(fā)現(xiàn)比較復(fù)雜,它需把二次降為一次.教師提示學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合或判別式法.解法一:(幾何解法)：設(shè)x-2y=b,則點(x,y)既在直線x-2y=b上,又在圓x2+y2-2x+4y=0上,即直線x-2y=b和圓x2+y2-2x+4y=0有交點,故圓心(1,-2)到直線的距離小于或等于半徑,所以.所以0b10,即b的最大值是10.解法二:(代數(shù)解法)：設(shè)x-2y=b,代入方程x2+y2-2x+4y=0,得(2y+b)2+y2-2(2y+b)+4y=0,即5y2+4by

14、+b2-2b=0.由于這個一元二次方程有解,所以其判別式=16b2-20(b2-2b)=40b-4b20,即b2-10b0,0b10.所以求出b的最大值是10.點評:比較兩個解法,我們可以看到,數(shù)形結(jié)合的方法難想但簡單,代數(shù)法易想但較繁,要多練習(xí)以抓住規(guī)律.例3 已知圓C：(x1)2(y2)2=25,直線l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR).(1)證明不論m取什么實數(shù),直線l與圓恒交于兩點；(2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.活動：學(xué)生先思考,然后討論,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的方法,由于直線過定點,如果該定點在圓內(nèi),此題便可解得.最短的弦就是與過定點與此直徑垂直的弦.解:(1)證明：因為l的方程為(x+y4)+m(2x+y7)=0.因為mR,所以,解得即l恒過定點A(3,1).因為圓心C(1,2),AC=5(半徑),所以點A在圓C內(nèi),從而直線l恒與圓C相交于兩點.(2)弦長最小時,lAC,由kAC=,所以l的方程為2xy5=0.點評：證明直線與圓恒相交,一是可以將直線與圓的方程聯(lián)立方程組,進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)判別式與0的大小來判斷,這是通性通法,但過程繁瑣,計算量大；二是說明直線過圓內(nèi)一點,由此直線與圓必相交.對于圓中過A點的弦,以直徑為最長,