無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算P-級(jí)數(shù) 110.pnpn討討論論p-p-級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)斂斂散散例例性性.的的1p解解：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，11nen由由111lnnn111lnnn1112nSn 111 1112lnlnlnn2321lnlnlnlnlnnn1ln n1 limlnnn故故.因因此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散部部分分和和有有上上界界無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算P-級(jí)數(shù) 01p當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，11pnn11pnn發(fā)發(fā)散散.有有界界，故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂1p 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),1112nppSn 111112244pppp 1122ppnn4個(gè)個(gè)2n個(gè)個(gè)1111122ppn 11112112npp11112,p比比較較法法部部分分和和有有上上界界無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 11011.nnnnn madma aa設(shè)設(shè)是是以以為為公公差差的的正正的的等等差差數(shù)數(shù)列列，證證明明：收收斂斂自自然然數(shù)數(shù)例例1.1.1,m解解：令令111nnna a12111123+nnnSa aa aa a122311111111+nndaaaaaa11111ndaa11111limlimnnnnSdaa111,da.故故收收斂斂無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 11011.nnnnn madma aa設(shè)設(shè)是是以以為為公公差差的的正正的的等等差差數(shù)數(shù)列列，證證明明：收收斂斂自自然然數(shù)數(shù)例例1.1.111121111nnn mnnn mnnn ma aaa aaaaamd1121211111111123+nmmmmnn mnn mSmdaaaaaaaaaaaa11111mnn mmdaaaa111limlim,nnnmSmdaa.故故收收斂斂無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 11111121.nnnn判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 的的斂斂散散例例2 2性性.1111121nannn由由于于解解：1由由性性質(zhì)質(zhì)，.故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散111n nn nn nnn0lim,nna無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 111.nnnnnnn判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性例例1.1.解解：由由于于11limlimnnnnnnnunn1211limnnnnn21211limnnnnnn1即即原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)通通項(xiàng)項(xiàng)不不趨趨近近于于零零，故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 11333ln.nnnn判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散例例性性2.2.11nn解解由由于于散散：發(fā)發(fā)，由由性性質(zhì)質(zhì)知知，113nn發(fā)發(fā)散散.133lnnnn而而為為等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，313ln而而，133lnnnn故故收收斂斂，由由性性質(zhì)質(zhì)知知，11333.lnnnnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 1101 21,.nnnnnanaan設(shè)設(shè)且且收收斂斂，討討論論的的例例1.1.斂斂散散性性解解：由由10nan2112nan2111nnnan而而和和收收斂斂，11nnan故故收收斂斂.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 12011/.nnxdxx例例2.2.判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性12001/nxdxx解解：10/nxdx132023/nx3 2213/n3 211/-npn又又級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，12011/nnxdxx故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 1101.nnnnnxxxx設(shè)設(shè)且且單單增增且且有有界界，證證明明：討討例例1 1論論收收.斂斂,nxM解解：設(shè)設(shè)110nnnxax12nnSaaa12231111nnxxxxxx32121231nnnxxxxxxxxx2132121nnxxxxxxx1121nxxx121Mxx有有界界，故故此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 1110+,.nnnnnnnnababbSaa設(shè)設(shè)為為兩兩個(gè)個(gè)正正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)列列，且且滿滿足足證證明明：例例收收2.2.斂斂11111 2,nnnnna babanS解解條條有有：由由件件，1 12221a ba baS223331a ba baS1111nnnnna babaS1 1222233111nnnna ba ba ba bSa bab231naaa1 1112311nnna babaaaS11231nnSaaaa11 11111nnaa babSS11 11aa bS有有界界，故故此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 11c.osnn 例例判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂1.1.散散性性2112cos,nn解解：故故此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.211nn而而收收斂斂，無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 4010=tan,.nnnnaax dxn 設(shè)設(shè)判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的2.2.斂斂散散性性例例0,na解解見(jiàn)見(jiàn)：易易2n當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，因因此此原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.224400-=tan=tantannnnax dxxx dx242011-=tancosnxdxx 2420-=tantannnx dxa 211=nan11nan11nannn111nnn 故故收收斂斂1111nnnn，無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 1!.nnnn判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的例例.斂斂散散性性1 1!nnnan解解記記：，1limnnnaa則則1.!nnnn收收斂斂故故111()!lim()!nnnnnnn1lim()nnnnn111lim()nnn11e無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 2121.nnnn判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的例例.斂斂散散性性2 2221nnnan解解：記記，limnnna則則2121.nnnn故故收收斂斂221limnnnnn221limnnn2112無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性 2123cos.nnnn 判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例.散散3 3的的斂斂性性203cosn 解解：，由由1 1則則2023cosnnn 12,nnn由由比比值值斂斂法法收收，1122+limnnnnn而而1 22,nnn12+limnnn1122123cosnnnn 再再由由比比收收較較.法法，斂斂無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性 211sin+.nn 討討論論級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)性性.散散例例的的斂斂21sin+n 解解：211sin+nnn 211sin+nnn 201sin,+nn 易易見(jiàn)見(jiàn)21sin,+nn 且且單單調(diào)調(diào)遞遞減減201limsin+nnn，故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.xOy2 2 無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 1212!.nnnn判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)(若若-1)-1)的的斂斂散散性性收收斂斂，說(shuō)說(shuō)明明是是何何種種斂斂例例.收收212!,!nnan解解記記：12122,nnnaan,na易易見(jiàn)見(jiàn)0lim.nna下下考考慮慮是是否否為為1 32112 42=nnan）2 423 521nn13 5212 42nn111 3 521212 4 62nnn1121nan2121nan121nan無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 1212!.nnnn判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)(若若-1)-1)的的斂斂散散性性收收斂斂，說(shuō)說(shuō)明明是是何何種種斂斂例例.收收212!,!nnan解解記記：121122,nnnaan,na易易見(jiàn)見(jiàn)0lim.nna下下考考慮慮是是否否為為1121nan）1 32122 42=nnan）3 52112 422 2=nnn4 6213 521 2nnn111 3 52142 4 62nnn114nan214nan12nan無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 1212!.nnnn判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)(若若-1)-1)的的斂斂散散性性收收斂斂，說(shuō)說(shuō)明明是是何何種種斂斂例例.收收212!,!nnan解解記記：121122,nnnaan,na易易見(jiàn)見(jiàn)0lim.nna下下考考慮慮是是否否為為1121nan）122)nan11221nann00 0limnna因因此此，故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.11122nnann由由，且且發(fā)發(fā)散散，1nna故故發(fā)發(fā)散散.原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.下下列列命命題題例例正正確確的的是是.211.;nnnnAaa若若收收斂斂，則則收收斂斂11111 2+.(,),;nnnnnnaBanaa若若為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，且且則則收收斂斂110.lim,;nnnnnnnuClvuv若若存存在在極極限限且且收收斂斂，則則收收斂斂1111 2.,nnnnnnnnnDwuvnvwu若若且且與與均均收收斂斂，則則收收斂斂.11.nnAan分分例例析析反反：111nnn收收斂斂，212nan，112nn發(fā)發(fā)散散.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.下下列列命命題題例例正正確確的的是是.211.;nnnnAaa若若收收斂斂，則則收收斂斂11111 2+.(,),;nnnnnnaBanaa若若為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，且且則則收收斂斂110.lim,;nnnnnnnuClvuv若若存存在在極極限限且且收收斂斂，則則收收斂斂1111 2.,nnnnnnnnnDwuvnvwu若若且且與與均均收收斂斂，則則收收斂斂.1.nBan反反例例分分析析：11nnanan1，11nn而而發(fā)發(fā)散散.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.下下列列命命題題例例正正確確的的是是.110.lim,;nnnnnnnuClvuv若若存存在在極極限限且且收收斂斂，則則收收斂斂11.,nnCvn反反析析例例分分：111nnnun limnnnuv1limnnnn 111limnnn111111nnnnnnunn 111nnnn 1111nnnn 211nnnn收收斂斂，211nn發(fā)發(fā)散散，1nnu故故發(fā)發(fā)散散.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.下下列列命命題題例例正正確確的的是是.1111 2.,nnnnnnnnnDwuvnvwu若若且且與與均均收收斂斂，則則收收斂斂.D分分析析：00,nnnnvwuw,nnnnuwvw而而1nnnvw又又收收斂斂，1nnnuw故故收收斂斂，11nnnnnnuuww則則收收斂斂.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 1.nnu設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，則則必必收收斂斂的的為為例例.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)11.;nnnuAn21.;nnBu2121.;nnnCuu11.nnnDuu.11.lnnnAun反反例例，分分析析：11;lnnnn而而發(fā)發(fā)散散11.nnBun反反例例，11;nn而而發(fā)發(fā)散散11.nnCun反反例例，21211212nnuunn-，1111221222,nnnnn+12,nn而而發(fā)發(fā)散散111212nnn故故+發(fā)發(fā)散散.無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂域 1!.nnnnxn例例1 1斂斂.求求的的收收域域nnnan!,解解設(shè)設(shè)：1nnnaRa lim111nnnnnnn!lim!11nnnlime,e e,故故收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為1nnnnxeen!,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為0nnnnben!,記記11111nnnnnnnbnebnen!111nen,0nnblim.此此時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散xe.當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，同同理理也也發(fā)發(fā)散散e e,.綜綜上上，收收斂斂域域?yàn)闉闊o(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂域 0003=.nnnnnnnaa xxa x設(shè)設(shè)且且在在點(diǎn)點(diǎn)條條件件收收斂斂，則則的的收收斂斂域域?yàn)闉開(kāi)例例2.2._3 3,無(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂域 2111+.nnxn例例.求求斂斂1 1的的收收域域2121111+=,nnnnxxxnn解解：1nnnaRa lim1limnnn111.ntn當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散211,x即即211,nnxttn設(shè)設(shè)，考考察察級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nan記記，11111.nntn當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂111 1,).nntn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉?1,x 1 1,.原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉闊o(wú)窮級(jí)數(shù) 計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂域 221111.nnxxn求求的的收收斂斂例例2.2.域域21=,t xx解解：設(shè)設(shè)1nnnaRa lim22111+lim+nnn21111.+ntn當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂2111,xx即即2111,+nntn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)化化為為211+nan記記，11.t當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)顯顯然然也也收收斂斂 2111 11,.+nntn級(jí)級(jí)數(shù)