一元微分學(xué) 重極限計(jì)算 24200lim.xyx yxy計(jì)計(jì)例例.算算1 10 0(,)ykx沿沿直直線線趨趨近近于于解解：點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，34220=limxkxxk x原原式式220=limxkxxk上上述述極極限限不不相相等等，故故原原極極限限不不存存在在.0=00 0(,)x沿沿直直線線趨趨近近于于點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，200=limyy原原式式0=0 0(,)xy沿沿直直線線趨趨近近于于點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，2220=limyyyy原原式式12=一元微分學(xué) 重極限計(jì)算 22001limsin.xyxyx例例2 2 計(jì)計(jì)算算.無(wú)無(wú)窮窮小小與與有有界界量量乘乘積積仍仍解解：為為無(wú)無(wú)窮窮小小故故極極限限值值為為0.0.0 3211lim.xyxyxy例例3 3 求求.0213limxyxyxy原原式式=解解：3=一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解.A連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)不不存存在在；22223222220000 0,(,),.x yxyfx yxyxyf x y 在在例例.則則設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)處處 .B偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)；.C連連續(xù)續(xù)且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在；.D可可微微.00i0.l mxyz 連連續(xù)續(xù)分分析析(,)(0,0)zf x yf 223222x yxy 2232220 x yxy 4322xx yx 不不妨妨=0 x一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解.A連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)不不存存在在；22223222220000 0,(,),.x yxyfx yxyxyf x y 在在例例.則則設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)處處 .C連連續(xù)續(xù)且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在；0(,0)(0,0)0,0li.mxxf xffx 偏偏導(dǎo)導(dǎo)分分存存在在析析存存在在 000lim0,0=xxfx 0 0,=00yf 同同理理.B偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)；.D可可微微.一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解 22223222220000 0,(,),.x yxyfx yxyxyf x y 在在例例.則則設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)處處 .xyzfxfyo 分分可可微微析析 22,(0,0)fx yfoxy 2222302220limxyx yxyxy 2220220lim0 xyx yxy 2220220limxyx yxy 而而不不存存在在，.故故不不可可微微一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解 22223222220000 0,(,),.x yxyfx yxyxyf x y 在在例例.則則設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)處處 00li.m,0,0 xxxyfx yf偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)分分析析 223222,xxx yfx yxy 31222222223223222x xyxyx xyxy 23252222xyxyxy 232502222limxykxxyxyxy 222235025221limxk xxk xxkx 22522211kkk 一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解.A連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)不不存存在在；0 00 000 0(,),(,)=,.,g x ygfx yxy g x yfx y在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)例例且且，在在則則其其.點(diǎn)點(diǎn)處處中中.B不不連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在；.C偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在但但不不可可微微；.D可可微微.00i0.l mxyz 連連續(xù)續(xù)分分析析(,)(0,0)zf x yf (,)xy g x y 00(m)li,xyxy g x y 0 一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解.A連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)不不存存在在；0 00 000 0(,),(,)=,.,g x ygfx yxy g x yfx y在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)例例且且，在在則則其其.點(diǎn)點(diǎn)處處中中.B不不連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在；.C偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在但但不不可可微微；.D可可微微.0(,0)(0,0)0,0li.mxxf xffx 偏偏導(dǎo)導(dǎo)分分存存在在析析存存在在 00,0=(,0)0limxxx g xfx 0 0,=00yf 同同理理一元微分學(xué) 多元微分學(xué)概念的理解 .xyzfxfyo 分分可可微微析析 22,(0,0)fx yfoxy2200(,)limxyxy g x yxy 220 xyxy 0,.故故可可微微 0 00 000 0(,),(,)=,.,g x ygfx yxy g x yfx y在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)例例且且，在在則則其其.點(diǎn)點(diǎn)處處中中.A連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)不不存存在在；.B不不連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在；.D可可微微.C偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在但但不不可可微微；xy 不不妨妨設(shè)設(shè)22 yy 2,00lim(,)=0 xyg x y而而一元微分學(xué) 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算 220 11(,)ln.zyzxx y設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)，1.1.算算例例221zyxxy解解：20,yzyx20 10 12,zyx y 2一元微分學(xué) 重極限計(jì)算 2(,)(,)(,),.f x yzzf x yfy xx y設(shè)設(shè)有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求例例2.2.12zffx解解：12,zfx yfy xx21221,.zfx yfy xx y 一元微分學(xué) 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算 322213cossin,(.,)axyyx dxbyxx ydyf x ya b為為某某二二元元函函數(shù)數(shù)的的全全已已知知例例1.1.微微分分求求的的值值，32cosaxyyxzx解解，：2213sin,byxx yzy22,zzx yy x而而 2232coszaxyyxx y得得 226coszbyxxyy x得得 比比較較系系數(shù)數(shù)得得362,ab 22,.ab故故 一元微分學(xué) 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算 3111111 11 1,(,),(),(,).xf x yfdxffxfx f x xxydx設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)處處全全微微分分存存在在，且且=1,=1,=2,=3,=2,=3,又又，.求求例例2 2 323()()dxxxdx 解解：()x12,(,),(,)fx f x xfx f x x12,fx xfx x12112113,=,=ff又又，1111,(,)ff1112=,=f，2111,(,)ff211=,=3.f12 3 2 3()+得得17=321311()()xdxdx故故 3 1 1751 一元微分學(xué) 方程組求導(dǎo)方法()nmmn個(gè)個(gè)方方程程，個(gè)個(gè)變變量量組組成成方方程程組組能能確確定定0(,)F x y個(gè)個(gè)元元函函數(shù)數(shù).問(wèn)問(wèn)題題：()yf x12個(gè)個(gè)方方程程 個(gè)個(gè)變變量量能能確確定定1 1個(gè)個(gè)一一元元函函數(shù)數(shù).0(,)F x y z(,)zf x y13個(gè)個(gè)方方程程 個(gè)個(gè)變變量量能能確確定定1 1個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù).00(,)(,)F x y zG x y z()()yy xzz x23個(gè)個(gè)方方程程 個(gè)個(gè)變變量量能能確確定定2 2個(gè)個(gè)一一元元函函數(shù)數(shù).nmn方方法法：方方程程兩兩端端關(guān)關(guān)于于自自變變量量求求導(dǎo)導(dǎo)（或或偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）一元微分學(xué) 方程組求導(dǎo)方法(,),(,),(,),duuf x yyg x zzh x udx例例1 1求求.設(shè)設(shè)x兩兩端端關(guān)關(guān)于于解解：求求導(dǎo)導(dǎo)，xyxzxududyffdxdxdydzggdxdxdzduhhdxdxdudx34分分析析：個(gè)個(gè)方方程程 個(gè)個(gè)變變量量能能確確定定3 3個(gè)個(gè)一一元元函函數(shù)數(shù).一元微分學(xué) 方程組求導(dǎo)方法(,)sin,(,),vuuvf x uey g y vexyxy例例設(shè)設(shè)3.3.求求.x兩兩端端關(guān)關(guān)于于解解：求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)，24分分析析：個(gè)個(gè)方方程程 個(gè)個(gè)變變量量能能確確定定2 2個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù).vxuuvuvffexxvugeyxxuxy兩兩端端關(guān)關(guān)于于 求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)，cosyvuuvuvfeyyyvuggexyyvy一元微分學(xué) 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算綜合題 2222222222,zfxyzzfxyxyxy設(shè)設(shè)二二次次連連續(xù)續(xù)可可微微求求，且且滿滿足足例例.222,zxfxyx解解：22224zfx fx22224zfy fy同同理理2222222244zzfxyfxyxy22,xyu設(shè)設(shè)114()()fufuu得得11114()duduuufueCedu1118Cuu212116()lnf uCuuC得得，一元微分學(xué) 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算綜合題 100012cot(,),lim,(,),(,)nynfyfnfx yfexfyff x y 設(shè)設(shè)可可微微，且且求求.例例.,ffx解解：由由 11(,)()dxf x yCy e得得1(),xCy e100(,)lim(,)nnfynfy而而1000010010010(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)lim+(,)fyfynnfyfyfyfynnfyfynfy00,(,)yfyfyecot ye00,(,)cotyfyfyy20cot,ydyfyC e2sinCy，012,f 將將代代入入，21C 10,sin(,)(),xfyyf x yCy e將將代代入入1sinCy(,)sinxf x yy e故故一元微分學(xué) 無(wú)條件極值 3224663 2223:/(,)zf x yxxxyyxDy在在區(qū)區(qū)域域上上的的值值例例極極求求-+-+.23820 xfxxy解解：220yfxy1100,xy2222xy舍舍68,xxfx2,xyf2 yyf0 0822 ,xxAfBC故故24820 ,BAC而而0A0 00(,).f因因此此為為極極大大值值一一元元連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)若若在在開開區(qū)區(qū)間間有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)極極值值，則則其其注注：為為最最值值.5 02500 0(,)(,)ff推推廣廣到到多多元元不不成成立立，例例如如，.一元微分學(xué) 無(wú)條件極值 2226102180(,),(,).zz x yzzxxyyyyzzx確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方求求的的極極值值程程例例.,x y的的求求關(guān)關(guān)解解：于于偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，26220zzxyyzxx6202220zzxyzyzyy 0zzyy令令，2603100 xyxyz，121212993333 xxyyzz得得，再再求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，x對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)2222222220zzzyzxxx y對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)22622220 zzzzzyzxx yyxx y y對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)2222220222220zzzzzyzyyyyy115933623,xyzABC當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，一元微分學(xué) 條件極值 22323xxyy上上切切線線與與坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸圍圍成成面面積積例例1.1.中中最最求求+=1+=1小小面面積積.,x yx設(shè)設(shè)是是曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，關(guān)關(guān)解解于于：求求導(dǎo)導(dǎo)62260 xyxyyy33xyyxy33xyYyXxxy切切線線方方程程103,xxy得得與與 軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)Oxy11233,S x yxyyx所所求求面面積積22112 3310 xyxy112 81xy22832312,fx yxxyyxy+先先求求在在條條件件=1=1下下的的極極值值.0=Y令令，233=xyyXxxy得得+222333=xyxyxy103,yyx同同理理可可得得與與 軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)一元微分學(xué) 條件極值 112 81,S x yxy所所求求面面積積22832312,fx yxxyyxy+先先求求在在條條件件=1=1下下的的極極值值.22238312,xxyyF x yxy+設(shè)設(shè)-1-12216201623230016 816 8xyFxyyxyFxyxyxxyyxF +-1+-1121211821128 ,xxyy111111422288,.SS最最小小一元微分學(xué) 最值 206064:(,)xfDyxx yx yxy求求在在上上最最值值例例.6 06,xyx1 1）在在內(nèi)內(nèi)0 0：部部解解224xfxyxyx y8320 xyxy224yfxxyx y2420 xxy1121,xy0(,)xyf x y2 2）在在邊邊界界 軸軸，軸軸上上，60 6,xyx3 3）在在邊邊界界上上，2646,fx yxxxx32212()xxg x26240()g xxx2242,xy4 264214,ff故故是是最最小小值值，是是最最大大值值.一元微分學(xué) 極值選擇