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1、目錄第八章聲163.聲波(164.聲波的能量和動量(865.聲波的反射和折射66.幾何聲學(xué)167.聲音在運(yùn)動介質(zhì)中的傳播(21)68.本征振動(2569.球波(29)70.柱面波(33)71.波動方程的通解(35)72.旁波(39)73.聲發(fā)射(46)74.互易原(58)75.聲音在導(dǎo)管中的傳播(62)76.聲音散射77.聲的吸收(71)78.第二粘度(79第九章激波(86)79.運(yùn)動氣體中擾動的傳播(86)80.氣體的定常流動(8981.間斷面82.激波絕熱關(guān)系式(97)83.弱激波84.激波中諸物理量變化的方向(104)85.理想氣體中的激波86.斜激(114)87.激波的厚度118)18

2、8.等溫間斷面(125)89.弱間斷面(127)第十章氣體的一維流動(13190.氣體經(jīng)過噴管的流動(131)91.管道中粘性氣體的流動(135)92.一維自相似流動(13893.初始條件中的間斷(147)94一維行波(154)95.聲波中間斷的形成(163)96.特征線(169)97.黎曼不變量(174)98.任意的一維氣體流動(179)99.強(qiáng)激波的傳播(187)100.淺論92)第十一章間斷面的相交(195)101.稀疏波195)102.激波的相交(202)103.激波與固體表面的相交(207)104.繞拐角的超聲速流動(211)105.繞錐形物體的流動(16)第十二章氣體的二維流(22

3、2106.氣體的勢流222107.定常簡單波(226)108.恰普雷金方程:定常二維氣體流動的一般問題(232109.定常二維流動中的特征線(237)110.歐拉-特里科米方程跨聲速流動111.在聲速面非奇點(diǎn)附近,歐拉-特里科米方程的解(247)112.聲速繞(253)113.間斷線與過渡曲線的相交(260)第十三章繞有限物體的流動(266114.繞物體的超聲速流動中激波的形成(2662115.繞尖削物體的超聲速流動(270116.繞薄翼的亞聲速流動(275)117.繞機(jī)翼的超聲速流動(278)118.跨聲速的相似律(282)119.高超聲速的相(286)第十四章燃燒的流體動力學(xué)(289)12

4、0.緩慢燃燒(289)121.爆轟(296122.爆轟波傳播(304)123.不同燃燒方式之間的關(guān)系313)124.凝結(jié)斷(317)第十五章相對論流體動力學(xué)(320125.能量動量張量(320126.相對論流體動力學(xué)方程(322)127.耗散過程的相對論方程3第十六章超流體動力學(xué)331128.超流體的基本性質(zhì)331)129.熱-機(jī)械效應(yīng)(334)130.超流體的動力學(xué)方程組(335)131.超流體中聲波的傳播(44)第十七章流體動力學(xué)中的漲落(352)132.流體動力學(xué)中漲落的一般理論(352)133.無限介質(zhì)中的漲落(356)中外人名對照表(360)索引(3633第八章聲音63.聲波現(xiàn)在我們

5、來研究可壓縮流體的流動,并且從研究小振動開始;可壓縮流體中的小幅度振動稱為聲波.在流體的每一點(diǎn)中,聲波導(dǎo)致了交替出現(xiàn)的壓縮和稀疏既然振動是微小的,速度V也就很小,因此歐拉方程中的一項(xiàng)(v)可以略去不計(jì)由于同樣的道理,流體中的密度和壓力的相對變化也是小量,我們可以把變量和寫成下面的形式=Po+p, p=po+,(63.1)式中,po和Po是密度和壓力不變的平衡值p與p是聲波中密度和壓力的改變量(pPo,pPo).將(631)代入連續(xù)方程apat+V(pv)=0,并略去二階小量(p,p和v是一階小量),它就變?yōu)?ap(63.2) at +PoV. =0.在相同的近似程度上,歐拉方程可化為31 at

6、P. Vp=0.(63.3)經(jīng)線性化的運(yùn)動方程組(63.2)和(63.3)適用于聲波傳播的條件是:與聲速相比,聲波中流體質(zhì)點(diǎn)的速度必須是小量,即v這一條件,比方說,可以從ppo這一必要條件得出(參看下面的公式(63.12)方程組(63.2)和(63.3)含有未知函數(shù)w,P和p為了消去其中一個未知函數(shù),我們注意到,正如理想流體中的任何其它運(yùn)動形式一樣,理想流體中的聲波是絕熱運(yùn)動.因此,壓力的微小變化P和密度的微小變化?之間的關(guān)系為p(63.4)按照這個方程,把p代進(jìn)(63.2),就得到十pdp(63.5)dp包含未知函數(shù)v和p的兩個方程(63.3)和(635),完全地描述了聲波的運(yùn)動為了將所有的

7、未知量用其中一個未知量來表示,方便的辦法是引入速度勢v=V.由方程(63.3)我們可以得到此式表示了P與中的關(guān)系(為簡便起見,今后將省略去p0和po中的下標(biāo)).于是,由(63.5)可得出速度勢中必須滿足的方程a3_c2小=0(63.7)這里,我們引用了符號ap(63.8形式象(637)的方程稱為波動方程,對(637)作用梯度算符就會發(fā)現(xiàn),速度v的三個分量滿足同樣形式的方程;而將(63.7)對時間微分,則可看出壓力p(因而還有p)也滿足波動方程現(xiàn)在考慮這樣的聲波,其中所有的量只依賴于一個坐標(biāo)(比方說,x),也就是說,z平面內(nèi)的流動是完全均勻的.這樣的波稱為平面波.波動方程(63.7)變?yōu)?12x

8、2-212=0(63.9)為解此方程,我們用新變量=x-ct,n=x+ct代換x和t.容易看出,用了這些變量,方程(639)變?yōu)?a2d anaE=0對積分這個方程,得到an=F(n),其中F(n)是n的任意函數(shù).再積分一次,便得=f1()+f2(n),這里,f1和f2為其自變量的任意函數(shù).因此,中=f(x-ct)+f2(x+ct)(63.10)平面波中的其它量(p,p,v)的分布,也可以用同樣形式的函數(shù)表示為明確起見,我們來討論密度p=f1(x-ct)+f2(x+ct).若設(shè)f2=0,則有p=f1(x-ct).這個解的意義是明顯的:在任何x=常數(shù)的平面內(nèi),密度隨時間而變化,而在任何給定的時刻

9、,密度因x的改變而不同;但是,對于滿足x-ct=常數(shù),或x=常數(shù)+ct的坐標(biāo)x和時間t,密度是相同的.這就表明,如果在某一時刻t=0,某點(diǎn)上的流體密度取某確定值,那么,經(jīng)過時間t以后,密度的同一值就會在另一點(diǎn)上出現(xiàn),而該點(diǎn)與原先那點(diǎn)沿x軸的距離為ct.聲波中所有其它量也有同樣的情況所以,這種流動圖象是以速度c沿著x軸方向在介質(zhì)中傳播的,c稱為聲速這樣,f(x-ct)就表示沿x軸正方向傳播的平面行波顯然,f2(x+ct)表示沿相反方向傳播的波在平面波內(nèi),速度=的三個分量中,只有vx=ax不為零.因此,聲波中的流體速度是沿著波傳播的方向。由于這個原因,我們說流體中的聲波是縱波在平面行波中,速度x=

10、和壓力p以及密度p之間,存在3著形式簡單的關(guān)系.設(shè)中=f(x-ct),可得v=adax=f(x-ct)和p=-paat=pcf(x-ct).對比這兩個表達(dá)式,我們求得v(63.11) pc根據(jù)(63.4)式,用p=c2p代入上式,就得到速度和密度改變量之間的關(guān)系: v=.(63.12)p我們再來說明聲波中的速度和溫度振動量之間的關(guān)系.已知T(1ap)sp,再應(yīng)用熟知的熱力學(xué)公式()s=(Tcp)(a)和公式(63.11),即得 rcpTolC9(63.13)其中,B=(1/V)(aVT)p是熱膨脹系數(shù).公式(63.8)是以流體的絕熱壓縮系數(shù)來表示聲速的,而絕熱壓縮系數(shù)與等溫壓縮系數(shù)的關(guān)系,可由

11、下面的熱力學(xué)公式給出:()=(63i1)現(xiàn)在來計(jì)算理想氣體中的聲速.理想氣體的狀態(tài)方程是pV=plp=RT,其中,R是氣體常,從是分子量,我們得到速的表達(dá)式為 C=(63.15)式中表示比值cp/c.因?yàn)閥通常只是隨溫度略有改變,故可以認(rèn)為氣體的聲速是和溫度的平方根成正比.當(dāng)溫度給定時,它和壓力無關(guān)有一種很重要的情形即所謂單色波,其中,所有的量恰是時間需要指出:氣體中的聲速與分子的平均熱速度為同一量級的周期(諧)函數(shù).通常,這些函數(shù)更宜于寫成一個復(fù)變量的實(shí)部(參看24的起始處),例如,可設(shè)速度勢為=re (ax,y, z)e-6,(63.16)式中是波的頻率.函數(shù)中滿足方程中+2=0,(63.

12、17)該式是將(63.16)代入(63.7)后得出的.現(xiàn)考慮沿x軸正方向傳播的平面單色行波.在這種波中,所有量都只是x-ct的函數(shù),所以速度勢的形式為=re Aexp-i( t-)(63.18)式中,A為一常數(shù),稱為復(fù)振幅.用實(shí)常數(shù)a和a將它表示為A=ae,便得到=acos(ot+a).(63.19)常數(shù)a稱為波的振幅,余弦函數(shù)的自變量稱為位相.我們用n表示波傳播方向的單位矢量矢量 k= =2 cn=n(63.20)稱為波矢.用該矢量表示,(63.18)可以寫為=reAexp(k.r-ot).(63.21)單色波是非常重要的,因?yàn)闊o論什么波都可以表示成具有各種波矢和頻率的平面單色波的疊加.一個

13、波分解成許多單色波,就是展成一個傅里葉級數(shù)或傅里葉積分(也稱為譜分解).這種展開式的項(xiàng)稱為波的單色分量或傅里葉分量問題問題1一個近乎均勻的二相系,由蒸汽及懸浮于其中的小液滴(“濕蒸汽”)或由液體及其中的小蒸汽泡所組成設(shè)聲波的波長比體系不均勻性的尺度大得多,試求該體系中的聲速解:在二相系中,衛(wèi)和T不是獨(dú)立變量,而是由兩個相平衡方程式關(guān)聯(lián)的.體系的壓縮或稀疏總伴有一個相到另一個相的轉(zhuǎn)變.設(shè)x是體系中第二相所占的百分比(按質(zhì)量計(jì)算),我們有8=(1-x)81+x82,V=(1-x)V1+xV2,(1)式中,下標(biāo)1和2用以區(qū)別純屬第一相和第二相的有關(guān)量為了計(jì)算導(dǎo)數(shù)(aVap),我們將其自變量由p,8變

14、換到p,x,得到()()()()()于是,以(1)式代入,就給出+(1x)-(2)利用公式(63.8),可從(1)和(2)兩個式子求出聲速把上面對壓力的全導(dǎo)數(shù)展開,引入由第一相轉(zhuǎn)變到第二相的潛熱=(82-81),并利用克拉珀龍-克勞修斯方程,求出沿相平衡曲線的導(dǎo)數(shù)dpddp/dT=p/T(V2-V1),我們就得出(2)式中第一個方括號內(nèi)的表達(dá)式,其形式為)+2()-2對第二個方括號,可作類似的變換設(shè)第一相是液體,第二相是蒸汽;并假設(shè)蒸汽是理想氣體,比容V1與比容V2相比可以略去不計(jì).如果x1(液體中含有一些蒸汽泡),則可求得聲速=9p(3)式中,R是氣體常數(shù),是分子量.一般說來,這個速度是很小

15、的因此,當(dāng)液體中形成蒸汽泡(空穴現(xiàn)象)時,聲速會突然急劇下降如果(1-x)1(蒸汽中含有一些液滴)就得到4)將此聲速和純氣體中的聲速(63.15)對比,我們發(fā)現(xiàn),此處由于加進(jìn)第二相也使c值減小,盡管減小得并不顯著當(dāng)x從0增大到1時,聲速從(3)式的值單調(diào)地增大到(4)式的值.對于x=0和x=1來說,當(dāng)系統(tǒng)從單相系轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘞禃r,聲速就會發(fā)生躍變其結(jié)果是,對于非常接近于零或1的x值,即使聲波是小振幅的,也不能再用通常的線性聲學(xué)理論;在這種情況下,聲波產(chǎn)生的壓縮和稀疏將伴隨有單相系和二相系之間的轉(zhuǎn)變,因而聲速為常值的基本假設(shè)就不再繼續(xù)成立了問題2設(shè)將氣體加熱到很高的溫度,以致平衡黑體輻射壓力變得與

16、氣體壓力大小相當(dāng),試確定此時氣體中的聲速解:壓力為=+,而熵則是 =In()n在這些表達(dá)式中,第一項(xiàng)與粒子有關(guān),第二項(xiàng)與輻射有關(guān);n是粒子的數(shù)密度,m是粒子質(zhì)量,是玻耳茲曼常數(shù),且有a=4x2k453c物質(zhì)的密度不受黑體輻射影響,所以p=mn這里,用u表示聲速以區(qū)別于光速c,于是,u2-(p,s)a(p,s)a(p, a (p, 8)(n, T)/ (, T)式中的導(dǎo)數(shù)已寫成雅可比行列式的形式.計(jì)算出這些雅可比行列式后,我們得出 u2=5KT12a3m5n(n+2a3例如,參看 Statistical Physics, Pergamon Press, London,1958,560(中譯本:J.正.朗道,E.M.栗弗席茲著,統(tǒng)計(jì)物理學(xué)楊愷等譯,人民教育出版社196427