《0-場(chǎng)論與張量（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《0-場(chǎng)論與張量（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）.ppt（23頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、1,在方程同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，啞指標(biāo)在作求和運(yùn)算后就消失了，因此改變啞指標(biāo)的字母不改變表達(dá)式的內(nèi)容。,自由指標(biāo)和啞指標(biāo),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,在方程同一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的指標(biāo)稱自由指標(biāo)，在同一方程的所有項(xiàng)中出現(xiàn)的自由指標(biāo)必須相同。,為避免混淆，同一項(xiàng)中相同指標(biāo)出現(xiàn)的次數(shù)不能多于2。,2,克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,3,與 相乘，相當(dāng)于把 的下標(biāo) j 置換為 i。,符號(hào)具有以下重要性質(zhì)：,克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,4,符號(hào)具有以下重要性質(zhì)：,克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)

2、約定,5,置換符號(hào),i、j、k 偶排列， 123，231，312,i、j、k 中有兩個(gè)以上指標(biāo)相同時(shí),i, j, k 奇排列， 213，321，132,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,6,有以下重要性質(zhì)：,置換符號(hào),（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,7,重要公式匯總,（1）指標(biāo)表示法和求和約定,8,標(biāo)量是一維的量，它只需1個(gè)數(shù)來表示，如溫度、密度等。 矢量則不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空間坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸方向的3 個(gè)分量來表示，矢量是三維的量。 三維空間中的二階張量是一個(gè)9維的量，必須用9個(gè)分量才可完整地表示，如應(yīng)力，變形速率。 三維空間中的 n 階張量由 3n 個(gè)分量組成。 標(biāo)

3、量和矢量是低階張量，標(biāo)量為零階張量，而矢量為一階張量。 笛卡爾張量。,（2）笛卡爾張量,標(biāo)量、矢量和張量,9,二階張量 二階張量有 9 個(gè)分量，二階張量也可表示為矩陣形式，,標(biāo)量、矢量和張量,（2）笛卡爾張量,張量可以用黑體大寫字母 表示，也可用它的一個(gè)分量 表示。,10,張量相等 兩個(gè)張量相等則各分量一一對(duì)應(yīng)相等。設(shè) ， 若 則,二階張量的代數(shù)運(yùn)算,若兩個(gè)張量在某一直角坐標(biāo)系中相等，則它們?cè)谌我庖粋€(gè)直角坐標(biāo)系中也相等。,（2）笛卡爾張量,11,張量加減 設(shè) 、 ，則,二階張量的代數(shù)運(yùn)算,張量的加減為其同一坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)元素相加減，只有同階的張量才 能相加減。,（2）笛卡爾張量,12,二階張量的

4、代數(shù)運(yùn)算,張量乘積 設(shè) 、 ，分量相乘， 是 4 階張量。,可以證明一個(gè) m 階張量和一個(gè) n 階張量的乘積是 m + n 階張量。,（2）笛卡爾張量,13,兩個(gè)矢量 的并矢定義為 也可寫成 并矢是一個(gè)二階張量。單位矢量的兩兩并矢 稱為并基， 三維空間的二階并基共有9個(gè)。并矢運(yùn)算不服從交換律,并矢,二階張量的代數(shù)運(yùn)算,（2）笛卡爾張量,矩陣無類似運(yùn)算。,14,若二階張量分量 之間滿足 則稱此張量為對(duì)稱張量，可表示為, 一個(gè)對(duì)稱張量，只有6個(gè)獨(dú)立的分量。,對(duì)稱張量,共軛張量、對(duì)稱張量、反對(duì)稱張量和張量的分解,（2）笛卡爾張量,15,若二階張量分量 之間滿足 則稱此張量為反對(duì)稱張量，可表示為 一個(gè)

5、二階反對(duì)稱張量只有3個(gè)獨(dú)立的分量，對(duì)角線各元素均為零。,反對(duì)稱張量,共軛張量、對(duì)稱張量、反對(duì)稱張量和張量的分解,（2）笛卡爾張量,16,張量分解定理 一個(gè)二階張量可以唯一地分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和 容易驗(yàn)證上式右邊第一項(xiàng)是對(duì)稱張量，第二項(xiàng)是反對(duì)稱張量。,共軛張量、對(duì)稱張量、反對(duì)稱張量和張量的分解,（2）笛卡爾張量,17,哈密頓算子,利用張量下標(biāo)表示法哈密頓算子可寫為,一個(gè)具有微分及矢量雙重運(yùn)算的算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,18,利用哈密頓算子進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，需分別進(jìn)行微分和矢量兩種運(yùn)算。,梯度,散度,哈密頓算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,19,旋度,哈密頓算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,20,拉氏算子,哈密頓算子,（1）指標(biāo)表示法和符號(hào)約定,21,例2. 已知, , 求:,解（1）,（1）指標(biāo)表示法和求和約定,是位置矢量。,（2）,22,（1）指標(biāo)表示法和求和約定,（3）,（4）,23,（1）指標(biāo)表示法和求和約定,（5）,（6）,