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1、就對一道中學生物理競賽試題答案的商榷一文的討論陳奎孚(中國農業(yè)大學理學院74#，北京100083)摘要 師教民等作者對2009年一道中學生物理競賽試題的參考答案進行了商榷，并對朱如曾再商榷文章進行了答復.筆者就師教民等作者的文章中有關問題進行了討論，指出在動參考系下，彈簧的勢能是彈簧兩端位移的二元函數，其全微分應包括全部端點的貢獻，而師教民等人的失誤是未考慮遠離小球一端位移的貢獻.此外，相關文章對“力的傳遞”、“功”，“變形體”、“彈性勢能”等基本力學概念的理解也有不妥之處，本文也將略加評述.關鍵詞 物理競賽;動參考系;慣性系;勢能;全微分;機械能;機械能守恒Remarks on Discus

2、sion on the answer of a middle school students contest question”Chen Kui Fu(College of Science #74， China Agricultural University， Beijing 100083)Abstract Shi Jiao-ming et al. published a paper discussing the solution to a problem from the 2009 middle school students physics competition of China. Zh

3、u Ru-zeng disagreed with SHI Jiao-mings opinion and presented a commentary paper. Shi Jiao-ming already presented a reply rebutting against Zhu Ru-zengs comments. In this paper， I will remark on the Shi Jiao-mings initial and rebuttal papers. It will be pointed out that the elastic potential of a sp

4、ring observed from a moving frame is a bi-variate function with respect to both displacements of two spring ends. The exact differential should cover contributions from both ends， and the mistake made by SHI Jiao-ming et al. is losing the contribution from the end distal to the oscillating particle.

5、 Besides， some fundamental mechanics concepts， for example， force transmissibility， work， transformable body， elastic potential， were misunderstood by some authors， and will be remarked concisely.Keyword: physics competition; moving reference system; inertial frame; potential energy; exact different

6、ial; mechanical energy; conservation of mechanical energy0.話題李學生和師教民近期發(fā)表了一篇針對2009年第26屆全國中學生物理競賽復賽試卷第三題第小題的標準答案的商榷文章1，引起的反響很大，如東北師范大學物理學院教授孟昭輝對文1的錯誤進行了剖析2，曾任力學進展常務副主編的朱如曾先生再商榷了文1 3，隨后原文作者之一師教民對文3進行了反駁4.鄭金用特殊情形否定了文1的觀點5.因文1所討論的話題曾經爭議了五十多年6,7，所以它發(fā)表后立即受到了正面引用8.筆者與文2和文3的看法一致，即文1的觀點是不妥的.本來文2和3的討論已經很到位了，然而

7、筆者還是想就自己的認識對文1和文4中的相關說辭進行一番討論，這有如下原因.首先，機械能守恒是物理和力學中很基本問題，影響面太廣(如文8對文1的迅速的正面引用) ，容不得錯誤和模糊; 其次，有文4的“言之鑿鑿”的反駁需要辨析；第三，筆者不想讓學生、學者和教師等感興趣者浪費有限的時間和精力.原競賽題為：一質量為m的小球與一勁度系數為k的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動.試問：在一沿此彈簧長度方向以速度u做勻速運動的參考系里觀察，此體系的機械能是否守恒，并說明理由.參考答案為：否.原因是墻壁對于該體系而言是外界，墻壁對彈簧有作用力，在運動參考系里

8、此力的作用點有位移，所以對體系做功，從而改變這一體系的機械能.試題除了“以速度u做勻速運動的參考系”這個表述外都很清楚.如果能表述說“相對地面以速度u做勻速運動的參考系”，則會更明確.不過，爭議雙方都已經默認了“相對地面”，并無分歧.參考答案是正確無誤的.1.全微分不全圖1文1認為參考答案是錯誤的，論證的手段是數學演繹，然而該演繹有一個關鍵失誤，即文1式(4)下方的(本段隨后敘述根據文1) (1)式中：，分別是勻速運動參考系中觀察到彈簧勢能，小球位移和位移的微分；為彈性勢能的微元；為小球所受到的力.圖2如果動參考系的速度u=0，那么就回到了(見圖1)，式(1)無疑是正確的，但是如果的坐標原點也

9、在運動，那么再使用式(1)就不合適了.比如圖2的兩個自由度系統(tǒng)，第二個彈簧的勢能按照式(1)的邏輯究竟應該為 還是 呢？顯然二者都不對.應該和的二元函數(其實勢能應該寫成，并進一步可以表示成單變量函數的形式，但是為了與文1的符號一致，還是用了)，它的全微分應該為圖3 (2)回到圖1的模型，在動參考系里觀察，彈簧的左端不再保持不動，如圖3所示模型.在圖3中，彈簧左右兩個端點各有一個參考原點，這兩個原點隨動參考系一起勻速運動.左右兩個端點相對動參考系的位移分別為和.如同圖2，在動參考系中觀察到的彈簧勢能是和的函數，即，所以 (3)其中的.式(1)失誤在于把式(3)右邊的第二項丟掉了，它正是墻壁作用

10、力對系統(tǒng)所做的元功.第二項的存在，是動參考系中機械能不守恒的數學表現.高炳坤先生早就論述過這個問題了9.若在圖1的靜參考系中觀察，彈簧勢能確實是的單變量函數， 是勢能的全微分.但是在動參考系中，如果把式(3)的第二項丟掉，就不再是的全微分，其積分后所得的表達式也失去了作為勢能的資格.2. 有關說辭的辨析本節(jié)主要對文1，4中與力學相關的說辭進行辨析.文1在解題前有“本題是質點力學問題，根據牛頓第二定律，由于力只能作用在有質量的物體上，輕質彈簧抽去其質量屬性后，只是作為傳遞力的工具（這是理想化的模型），地面參考系和小球通過彈簧的彈力相互作用.小球與彈簧可伸縮的部分組成彈簧振子體系，所以小球的機械能

11、就是彈簧振子體系的機械能.”.這段說辭中有如下幾個問題.(1) “力只能作用在有質量的物體上”無法從牛頓第二定律得出來.對質點中的是合外力.如果不是質點，質量只意味著所有外力的矢量和為零，即當彈簧質量忽略后，墻壁對彈簧的作用力矢量與小球對彈簧的作用力矢量合起來等于零(注意是矢量和為零，不是合力為零，見下面的(4).另外文4也堅持：“力不能對沒有質量的物體做功” ；“朱文就不能計算兩個外力 對彈簧所做的總功（若硬要計算則應把彈簧視為質點，但是，因此產生的把彈簧視為質點與忽略彈簧質量的矛盾應由朱文負責）、而只能計算小球或振子這個質點的總功了”等說辭當然也不恰當.力是否只能對有質量的物體做功能？答案

12、是否.因為力矢量元功為，其中是受力物體上與力作用點相重合那點位移的微元. 與受力物體是否有質量無關.至于“被作用對象的質量為0時，加速度可能會無窮大”的擔心根本沒必要，因為被作用對象上還可能有其他力的作用.再者，被作用對象也可把力的功轉換成其他形式的能量，比如彈簧把能功儲藏為彈性勢能.圖4注意：把彈簧拆掉(這里用點線表示)，就把彈簧對墻壁的作用力和對小球的作用力暴露出來了，各自的反作用力和本不應該在受力圖中畫出來，但這里想用同一幅圖表示它們的對應關系，所以就畫上了，但刻意用了虛箭頭表示。(2) “輕質彈簧抽去其質量屬性后，只是作為傳遞力的工具”的“傳遞力的工具”很不恰當.當彈簧質量不計時，墻壁

13、對彈簧的作用力與彈簧對小球的作用力的大小確實相等，方向也確實相同(見圖4)，但是二者的作用點不同(施力物體和受力物體也當然不同).在本題中，二者的作用點位移更不同(振子的振動必然導致這個不同)，所以它們無法等效，因而不能把墻壁作用在彈簧上的力直接作用到小球上.力有可傳性，但這種“傳”只能在同一剛體內部傳遞，然而這里彈簧是變形體(也正是利用了彈簧的變形性質，才發(fā)生了振動現象)，所以不能簡單地把力傳過彈簧.當然，若小球處于平衡狀態(tài)，那么根據剛化原理可把彈簧當成剛體模型處理，小球的平衡狀態(tài)不變.此時，操作上可把墻壁對彈簧的力傳遞到小球(這個“傳遞”與彈簧是否有質量也無關)，但剛化原理的前提是小球要處

14、于平衡狀態(tài)，然而本題的小球在振動.綜上，文1的最后一段“由于在這個問題中彈簧僅僅是傳遞彈力，約束力與保守力是同一個力”必然是不正確的.(3)“小球的機械能就是彈簧振子體系的機械能”也不恰當.小球只有動能，振子的勢能儲存在彈簧中.在重力場中，“小球的勢能”指的是小球的重力勢能，即小球在地球重力場中的勢能.在不引起誤解的語境下，我們使用 “小球的勢能”但這絕不是說小球自己就有勢能.故而文4中“因此，研究彈簧振子系統(tǒng)的機械能只能研究質點小球或振子的動能和勢能而不能再研究彈簧的勢能了.事實上，彈簧振子系統(tǒng)的彈性勢能也就是質點小球或振子的勢能”表述不恰當.文4所引用的文10陳述“質點在彈力作用下相對于平

15、衡位置的彈性勢能”中的“在彈力作用下相對于平衡位置的”的修飾語是很準確的，丟了這個修飾語就不合適了.除此之外，文4還有很多不恰當的地方，明顯之處評述如下.(4) 文4中“這兩個外力的合力為零，即所以這兩個外力在彈簧運動過程中對彈簧在位移所做的總功為零”說法是不恰當的.這是因為兩個外力能不能“合”是有條件的，即合前和合后的力學效果要相同，而不能說數值相反，它們的合力就為零.對于剛體，兩個力大小相等，方向相反，作用在同一條直線上，可以合成為一個零力系，而本題彈簧為變形體，作用在兩端的力是不能合的，它會把彈簧拉長或壓短，而零力系沒這個效果就如同兩個同學分油條：在油條兩端用相等的力和不用力拉的力學效果是不同的.(5) 文4中“彈性勢能的變化也僅僅與彈簧的伸縮量或振子的位移有關”有錯誤.彈簧的伸縮量是彈簧兩端的位移差，而不能“或”成振子的位移，即表述中的應該是.正是這個錯誤，在數學演繹上導致了文1錯誤的結果.(6) 文4中“彈簧（應為質點）做的是勻速運動，所以彈簧（應為質點）在運動方向上受到的合外力為零”的說法是錯誤的.“合外力為零”的錯誤前面已經論述過.對彈簧振子，彈簧所起的作用不是質點，而是變形體.變形體各處的位移和速度都不相同，當然不能說彈簧做勻速運動.(7)