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1、對一道困擾力學界30多年習題的思考 李學生（山東大學物理學院 山東濟南 250100）摘要：分析了關于外勢能的彈性勢能機械能守恒定律滿足力學相對性原理，也具有單獨的協(xié)變性，彈性勢能不具有伽利略不變性，解決了關于這個問題的爭論關鍵詞：輕質彈簧；伽利略不變性；力學相對性原理；機械能守恒中圖分類號：O 313.1 文獻標識碼：A參考文獻129都有這樣一個題目：一質量為m的小球與一勁度系數(shù)為k的輕質彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動試問在一沿此彈簧長度方向以速度u相對于作勻速運動的參考系里觀察，此體系的機械能是否守恒，并說明理由。解：假設地球質量為充

2、分大，忽略地球能量的變化，按照外場計算，此時一個保守力的功等于質點勢能的減少。在地面參照系上觀察時，小球的平衡位置為坐標原點，以水平向右的直線ox為x軸，建立直線坐標系如圖1所示。小 車u v 墻Fo圖1 彈簧振子機械能守恒問題光滑水平地面xmx當t=0時刻，將小球向右拉至最大振幅并放手，使之做簡諧振動，則小球的位移為：x=Acos(t)，其中2=k/m，k=m2。設小球的速度為v，加速度為a，受到的力為f，動能為Ek(t)，勢能為Ep(t)，機械能為E(t)則有：v = -Asin(t)，a = -2Acos(t)，f=ma=-m2Acos(t)=-kx。Ek(t) =mv2 =m-Asin

3、(t)2=m2A2sin2(t) =kA2sin2(t)。 （1）dEp(t)=-f dx=kxdx=d，Ep(t)=kx2+C。將初始條件t=0時，x=A，Ep(0) =kA2，代入上式得：kA2 = Ep(0) =kA2+C，C=0，Ep(t) =kx2+C =kx2+0 =kA2cos2(t)。（2）E(t)=Ep(t)+Ek(t)=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) =kA2=常數(shù)。 （3）設地面參照系和沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運動的參考系（設為小車，見圖1）剛開始相對運動時完全重合，開始相對運動后，當t=0時刻，將小球向右拉至最大振幅并放手，使之做簡諧振動。設在小車參

4、照系上觀察時，小球的位移、速度、加速度、受到的力、動能、勢能、機械能分別為x1，v1，a1，f1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t)則有：x1=x-ut=Acos(t)-ut，v1=-Asin(t)-u，a1= -2Acos(t)=a，f1=ma1=ma=-m2Acos(t)=-kx（說明：f1-kx1，如果把胡克定律表示為彈力的大小與形變大小成正比，方向與形變的方向相反，那么胡克定律適用于所有慣性系，但此時形變大小不是位移）。E1k(t) =m=m-Asin(t)-u2=m2A2sin2(t)+2uAsin(t)+u2=kA2sin2(t)+muAsin(t) +mu2。 （4）文獻26

5、證明了力的保守性具有伽利略變換的不變性，因此在小車系質點受到的彈力也是一個保守力。所以dE1p(t)=- f1dx1=kxd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=d，E1p(t) =kx2-muAsin(t)+C將初始條件t=0時x1=x=A，E1p(0)=Ep(0) =kA2，代入上式得：kA2 = E1p(0) =kA2-muAsin(0)+C，C=0，E1p(t) =kx2-muAsin(t)+C=kx2-muAsin(t)+0 =kx2-muAsin(t) = -muAsin(t) （5）因此勢能是時間t的一元函數(shù)。E1(t)=E1p(t)+E1k(t)=kx2-muAsin

6、(t) +kA2sin2(t)+muAsin(t) +mu2=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) +mu2=kA2+mu2=常數(shù)。 （6）所以在小車參照系上觀察時，彈簧振子體系的機械能仍然守恒，守恒值為kA2+mu2。當u=0時兩個坐標系重合，守恒值相等。從上述推導可以看出兩點：當u0，只有t=n，nN時才有：Ep(t)=Ep1 (t)；當u=0時，二者顯然相等，這也符合玻爾的對應原理。由于忽略質量，彈簧不具有動能和勢能，只研究質點就行了，如果考慮質量，把質量按照比例加在質點上就行?；蛘呖紤]為若干個受彈力作用的質點，不考慮彈簧質量時是單質點，考慮彈簧質量時是多質點，此時彈力不一定滿足

7、胡克定律，但是根據(jù)動能定理和勢能定理每一個質點在彈力作用下動能的變化量和勢能的變化量互為相反數(shù)，機械能不變。經(jīng)典彈性勢能公式的局限性分析：小車系測量的質點的彈性勢能為Ep(t)=-muAsin(t)=kx2-muAsin(t)=m2x2-muAsin(t)，可以發(fā)現(xiàn)質點的彈性勢能與質量成正比，符合質能方程的要求。參考系相對于地面變速運動也可以得出一個勢能公式，但是此時需要增加一個慣性力，文獻30證明了慣性力也是一個保守力，機械能也守恒，在此從略），沒有否定經(jīng)典的彈性勢能公式，原來的公式只是一個特例觀察者在彈簧彈力方向上沒有位移或者說分速度為0（相對于固定點靜止或者垂直于彈力方向上勻速運動），不

8、能認為彈性勢能對于所有的觀察者都相同，需要根據(jù)“物體的勢能增加量等于物體克服保守力做的功”重新計算，當觀察者在力的方向上分速度不相等時，計算保守力做的功不相等，因此勢能差也應該不相等，這說明彈性勢能和重力勢能一樣具有相對性。單獨的場具有不變的物理意義，而單獨的勢不具有不變的物理意義。勢的客觀性是通過其整體性來體現(xiàn)的（表現(xiàn)為只有相對值）。一個一維彈簧振子的哈密頓量，正則方程為:，其中即動量的定義，而是一維簡諧振子的牛頓方程；一般情況下，哈密頓正則方程組的第一個方程是牛頓方程，第二個方程是動量的定義。如果堅持Ep =kx2適用于所有情況，由于彈簧的形變是伽利略變換不變量，因此部分文章堅持認為彈性勢

9、能差對于不同的觀察者不變，才出現(xiàn)了機械能不守恒的錯誤結論，為了解釋這個問題人們提出了機械能守恒定律可以不滿足力學相對性原理或者滿足力學相對性原理，但不具有單獨協(xié)變性的錯誤的理論。也有人在功能原理中直接去掉外勢能的概念，認為引入外勢能們沒有必要。任何真理都有一定的適用范圍，例如經(jīng)典流體力學中阿基米德原理適用于全部或部分浸入靜止流體的物體，要求物體下表面必須與流體接觸。如果物體的下表面并未全部同流體接觸，例如被水浸沒的橋墩、插入海底的沉船、打入湖底的樁子等，在這類情況下，此時水的作用力并不等于原理中所規(guī)定的力。如果水相對于物體有明顯的流動，此原理也不適用（需要利用伯努利方程）。魚在水中游動，由于周

10、圍的水受到擾動，用阿基米德原理算出的力只是部分值，這些要考慮流體動力學效應。水翼船受到遠大于浮力的舉力就是動力學效應，所循規(guī)律與靜力學有所不同。胡克定律F=-kx，在這里是實數(shù)與矢量（向量）的積，x是彈簧的形變，是一維矢量，彈性勢能應該是dEp =-kxdx1，在這里是數(shù)量積（標量積），當觀察者在彈力方向上的分速度為0時，x= x1，便得出了Ep =kx2；當觀察者在彈力方向上的分速度不為為0時不是始終相等的，如果此時利用dEp1=-kx1dx1計算彈性勢能就錯了，這樣計算力就不是伽利略變換的不變量了。文獻6和1418的解法與答案與本文相同。下面利用反證法說明考慮墻壁的作用力，勁度系數(shù)依然按照

11、k計算的錯誤假設墻壁的作用力單獨改變振子的機械能，與振子的作用力一樣，根據(jù)對稱性原理，必然改變彈簧的形變，那么彈簧的形變就不再是伽利略變換的不變量，以彈簧的伸長為例，如果考慮墻壁的作用，當振子運動到最大位移處，振子對于彈簧的拉力F=kA.對于小車系，測量的力也是F=kA，墻壁的拉力是F1=-kA，如果此時勁度系數(shù)依然按照k計算，此時彈簧的形變?yōu)?A，這樣彈簧的形變就不是伽利略變換不變量，顯然是錯誤的.文獻31分析了功的三種定義方式是一致的，本質上在于如何認識力的作用點的問題，功是質點與所受力的數(shù)量積，墻壁不能對沒有質量的彈簧做功。質點的勢能無法對外界直接做功，只有將質點的勢能轉化為動能，才能對

12、外界直接做功。文獻32給出了彈性勢能的概念，只要質點受到保守力彈力就具有彈性勢能，因此彈簧振子問題中是質點的彈性勢能，而不是彈簧的彈性勢能1516。在彈簧振子問題中彈力雖然是接觸力，但是力源不是研究對象，仍然按超距力處理。主要結論彈性勢能的機械能守恒定律具有伽利略變換的不變性，內勢能差是伽利略變換的不變量，外勢能差不是伽利略變換不變量33。參考文獻：1高炳坤.力學中一個令人費解的問題J.大學物理，1995（5）：2024.2李光惠，高炳坤.對“力學中一個令人費解的問題”的補充. 大學物理，1996（10）：4445.3趙凱華，羅蔚茵新概念物理教程 力學M北京：高等教育出版社，2000：1244

13、高炳坤能量追蹤J大學物理，2001（3）：15165高炳坤.一個保守力做的功等于勢能的減少嗎J.大學物理，2001（5）： 1920.6劉明成，劉文芳，趙文桐彈力機械能守恒定律在各慣性系都成立J物理通報，2015(12)：1091117蔡伯濂.關于講授功和能的幾個問題.工科物理教學，1981（1），713.8王立、張成華.機械能守恒定律具有伽利略變換不變性.吉林師范大學學報（自然科學版），2004.3.9鄭金對一道物理競賽題的兩種互異解答的探討J物理通報，2015(7)：10911210裴永偉，籍延坤，吳振聲.物理規(guī)律的協(xié)變性與可變性.沈陽大學學報，2005，（17）4，100104.11李興

14、毅，陳建，趙佩章，趙文桐.伽利略變換的物理意義.河南師范大學學報（自然科學版），2002（2）3942.12鄭永令，力學（2004年1月第2次印刷）：194頁. 13袁芳，朱炯明.功、動能和機械能.物理教學，2012（12）:510.14馮偉.機械能守恒定律與參照系對力學中一個問題的討論.承德民族師專學報，1986(4): 7374.15李學生，師教民.對一道中學生物理競賽試題答案的商榷. 物理通報，2014（9）：119120.16劉一貫.關于機械能守恒定律的協(xié)變性.華南師范大學學報（自然科學版），1985（1）：155157.17劉敏，孫皆宜.再論機械能守恒.牡丹江教育學院學報，2005（5）：26，34.18趙志棟，陳光紅.輕彈簧之“困境”.物理通報，2016（5）：98101.19唐龍.例說能量的系統(tǒng)性和相對性.物理教師，2016（6）：1819.20蔡伯濂.關于講授功和能的幾個問題J工科物理教學，1981(1)，71321冉婷，余杰，蘭小剛.慣性參照系的選擇與機械能守恒.物理教學探討，2017(9).22易雙萍.不同慣性系中的力學規(guī)律.工科物理（現(xiàn)名：物理與工程），1998年第8卷第5期：1822.23趙堅.關于與機械能守恒相關的一些問題的探討.物理教師，2019，40（5）：6265.