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1、彈性勢能的外勢能不具有伽利略變換的不變性摘要：首先給出了輕質(zhì)彈簧的一個性質(zhì)定理，然后分析了關(guān)于外勢能的彈性勢能機械能守恒定律滿足力學相對性原理，也具有單獨的協(xié)變性，彈性勢能不具有伽利略不變性，解決了關(guān)于這個問題的爭論關(guān)鍵詞：輕質(zhì)彈簧；性質(zhì)定理；伽利略不變性；力學相對性原理；機械能守恒.中圖分類號：O 313.1 文獻標識碼：A參考文獻111都有這樣一個題目：一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動試問在一沿此彈簧長度方向以速度u相對于作勻速運動的參考系里觀察，此體系的機械能是否守恒，并說明理由（地球的質(zhì)量視為充

2、分大，從而穩(wěn)定地保持為慣性系）由于彈簧和小球連接在一起，物理量之間存在著聯(lián)系，因此可以等效認為彈性勢能屬于彈簧，但是本質(zhì)上屬于小球.為此我們首先給出輕質(zhì)彈簧的一個性質(zhì)定理輕質(zhì)彈簧的性質(zhì)定理：輕質(zhì)彈簧雖然始終是兩端受力而不是單端受力，但是計算輕質(zhì)彈簧的形變和彈性勢能時，可以有兩種等效的方法：1.將輕質(zhì)彈簧的一個端點視為相對靜止，此時勁度系數(shù)為k；2.將其中點視為相對靜止，則可視為兩根串聯(lián)的彈簧，其勁度系數(shù)是2k.證明：1、當觀察者在彈力所在直線上的分速度為0時假設輕質(zhì)彈簧所受外力為F，我們可以從兩個角度認識，一方面將輕質(zhì)彈簧的一個端點視為相對靜止，此時勁度系數(shù)為k，形變?yōu)閤,我們當初定義勁度系數(shù)

3、k=F/x，彈性勢能為kx2；換一個角度如果認為彈簧是兩端受力使彈簧發(fā)生形變，此時應該視為為兩個勁度系數(shù)相同的彈簧串聯(lián)，根據(jù)彈簧串聯(lián)的知識可以知道這時每個輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為2k，彈性形變?yōu)閤,整個彈簧形變還是x，彈性勢能為2k(x)22=kx2也不變.所以在輕質(zhì)彈簧問題中考慮兩端受力與一端受力計算彈性形變和彈性勢能是等效的，只不過等效勁度系數(shù)不同,但是由于整個彈簧的勁度系數(shù)不變，計算彈簧振子周期時仍然用k，這是輕質(zhì)彈簧的一個性質(zhì). 2、當勻速運動（變速運動也成立，本文不再討論）的觀察者相對于輕質(zhì)彈簧的固定點在彈力所在直線上的分速度不等于0時，根據(jù)對稱性原理，dE1p(t)=-2f1d(x1)

4、=-f1dx1 ，與只考慮一端受到的力產(chǎn)生的效果相同. 證畢.說明：輕質(zhì)彈簧的性質(zhì)定理只是說明考慮兩端受力效果計算用2k,考慮一端受力效果勁度系數(shù)用k計算，這里采用等效的觀點處理問題，愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對論時也曾經(jīng)采用過等效原理.該定理不代表彈簧的勁度系數(shù)發(fā)生了變化，其實彈簧的勁度系數(shù)是伽利略不變量，下面是朱如曾研究員的證明根據(jù)質(zhì)量、時間和空間坐標的伽利略變換式，彈簧的無形變長度l0和伸長(x-x0)以及質(zhì)點的加速度均是伽利略不變量.力學相對性原理保證牛頓第二定律適用于任何慣性系，故力也是伽利略不變量，因此彈簧拉力f 是伽利略不變量，由于伸長(x-x0)也是伽利略不變量，所以作為拉力與伸長之比

5、的彈性系數(shù)也是伽利略不變量，但是胡克定律不具有伽利略變換的不變性.考慮到彈簧兩端受力都使彈性勢能發(fā)生改變時，如果繼續(xù)用勁度系數(shù)k計算彈性勢能，能量顯然會增大，其實無論如何分割彈簧，彈性勢能應該是不變的.對于兩端都有位移的彈簧的總伸長定義為一端的形變. 下面利用反證法說明考慮墻壁的作用力，勁度系數(shù)依然按照k計算的錯誤假設墻壁的作用力單獨改變振子的機械能，與振子的作用力一樣，根據(jù)對稱性原理，必然改變彈簧的形變，那么彈簧的形變就不再是伽利略變換的不變量，以彈簧的伸長為例，如果考慮墻壁的作用，當振子運動到最大位移處，振子對于彈簧的拉力F=kA.對于小車系，測量的力也是F=kA，墻壁的拉力是F1=-kA

6、，如果此時勁度系數(shù)依然按照k計算，此時彈簧的形變?yōu)?A,這樣彈簧的形變就不是伽利略變換不變量，顯然是錯誤的.彈簧振子是一個不考慮摩擦阻力，不考慮彈簧的質(zhì)量，不考慮振子的大小和形狀的理想化的物理模型.由于忽略了彈簧的質(zhì)量，所以系統(tǒng)的機械能就是小球的機械能.當初定義輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)k時，是用一端受力定義的（其實是兩端受力，另一端按照固定不變定義），如果按照兩端受力，勁度系數(shù)都用k 計算，形變有可能超過彈性限度.參考解答提出在運動系中彈簧在靠近墻的一端所受的力也做功，這樣計算也可以，此時必須按照兩個相同的彈簧串聯(lián)處理，每一個的勁度系數(shù)為2k，由于整個彈簧的勁度系數(shù)不變，周期不變，結(jié)果是等效的，因此

7、參考解答錯誤. 如果再單獨計算墻對于彈簧做功就重復了，才出現(xiàn)了機械能不守恒的錯誤.如果考慮墻對于彈簧所做的功，顯然可以測量出小車相對于墻的運動速度,這與力學相對性原理(不可能借助在慣性系中所做的力學實驗來確定該參考系做勻速直線運動的速度)是不符合的.彈簧振子不是彈簧+質(zhì)點，而是質(zhì)點受到線性回復力.解：由于本題假定地球質(zhì)量充分大，忽略地球能量的變化，只能按照外場計算，此時一個保守力的功等于質(zhì)點勢能的減少.在地面參照系上觀察時，以小球的平衡位置為坐標原點，以水平向右的直線ox為x軸，建立直線坐標系如圖1所示小 車u v 墻Fo圖1 彈簧振動振子機械能守恒問題新解光滑水平地面xmx當t=0時刻，將小

8、球向右拉至最大振幅并放手，使之做簡諧振動，則小球的位移為：x=Acos(t)，其中2=k/m，k=m2設小球的速度為v，加速度為a，受到的力為f，動能為Ek(t)，勢能為Ep(t)，機械能為E(t)則有：v = -Asin(t)，a = -2Acos(t)，f=ma=-m2Acos(t)=-kxEk(t) =mv2 =m-Asin(t)2=m2A2sin2(t) =kA2sin2(t) （1）dEp(t)=-f dx=kxdx=d，Ep(t)=kx2+C將初始條件t=0時，x=A，Ep(0) =kA2代入上式得：kA2 = Ep(0) =kA2+C，C=0，Ep(t) =kx2+C =kx2+

9、0 =kA2cos2(t) （2）E(t)=Ep(t)+Ek(t)=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) =kA2=常數(shù) （3） 設地面參照系和沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運動的參考系（設為小車，見圖1）剛開始相對運動時完全重合，開始相對運動后，當t=0時刻，將小球向右拉至最大振幅并放手，使之做簡諧振動 直覺判斷：因為小球在最大位移處以勻速度量值u相對于小車沿x軸負向運動，我們規(guī)定此時地面系和小車系的勢能相等，所以在小車參照系上觀察（即以小車參照系為靜止系）時，彈簧振子體系（或小球）的機械能比在地面參照系上觀察時，增加m(-u)2=mu2，所以在小車參照系上觀察時，彈簧振子體系（或小

10、球）的機械能為：E1(t)=E(t) +mu2 =kA2+mu2=常數(shù)所以，在小車參照系上觀察時，彈簧振子體系（或小球）的機械能守恒，守恒值為kA2 + mu2,這里采用特殊點判斷，下面給出一般證明.數(shù)學推導：設在小車參照系上觀察時，小球的位移、速度、加速度、受到的力、動能、勢能、機械能分別為x1，v1，a1，f1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t)則有：x1=x-ut=Acos(t)-ut，v1=-Asin(t)-u，a1= -2Acos(t)=a，f1=ma1=ma=-m2Acos(t)=-kx（說明：f1-kx1，胡克定律不具有伽利略變換的不變性，胡克定律不是牛頓定律的推論，不代表經(jīng)

11、典力學不滿足力學相對性原理）E1k(t) =m=m-Asin(t)-u2=m2A2sin2(t)+2uAsin(t)+u2=kA2sin2(t)+muAsin(t) +mu2 （4）dE1p(t)=- f1dx1=kxd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=d，E1p(t) =kx2-muAsin(t)+C將初始條件t=0時x1=x=A，E1p(0)=Ep(0) =kA2，代入上式得：kA2 = E1p(0) =kA2-muAsin(0)+C，C=0，E1p(t) =kx2-muAsin(t)+C=kx2-muAsin(t)+0 =kx2-muAsin(t) = -muAsin(t)

12、 （5）E1(t)=E1p(t)+E1k(t)=kx2-muAsin(t) +kA2sin2(t)+muAsin(t) +mu2=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) +mu2=kA2+mu2=常數(shù) （6）所以，在小車參照系上觀察時，彈簧振子體系（或小球）的機械能仍然守恒，守恒值為kA2+mu212當u=0時兩個坐標系重合，守恒值相等，符合玻爾的對應原理.有人認為我們的計算忽略了墻壁的作用，這是一種誤解，根據(jù)輕質(zhì)彈簧的性質(zhì)定理，考慮小球（振子）對于彈簧的作用力時考慮彈簧的一端受力，勁度系數(shù)用k計算，如果考慮到墻壁的作用，此時是利用彈簧的兩端受力，是兩個彈簧的串聯(lián)，勁度系數(shù)用2k.下面利

13、用反證法說明考慮墻壁的作用力，勁度系數(shù)依然按照k計算的錯誤假設墻壁的作用力單獨改變振子的機械能，與振子的作用力一樣，根據(jù)對稱性原理，必然改變彈簧的形變，那么彈簧的形變就不再是伽利略變換的不變量，以彈簧的伸長為例，如果考慮墻壁的作用，當振子運動到最大位移處，振子對于彈簧的拉力F=kA.對于小車系，測量的力也是F=kA，墻壁的拉力是F1=-kA，如果此時勁度系數(shù)依然按照k計算，此時彈簧的形變?yōu)?A,彈性勢能是地面系的4倍，這樣彈簧的形變就不是伽利略變換不變量，彈性勢能也不是伽利略變換的不變量,這實際是處于自相矛盾的處境.從上述推導可以看出兩點：當u0，只有t=n，nN時才有：Ep(t)=Ep1 (

14、t)；當u=0時，二者顯然相等，這也符合玻爾的對應原理在分析這個問題時不能在地面系用外勢能機械能守恒定律（把地球質(zhì)量認為充分大），在小車系用內(nèi)勢能機械能守恒定律（把地球質(zhì)量視為有限值），考慮地球受到的慣性力，前后不自洽.因為力具有伽利略變換的不變性，在兩個不同的慣性系中質(zhì)點受到的合力是不變的，所以如果在一個慣性系中機械能守恒，在另一個慣性系中機械能也一定守恒.因為只有非保守力做功，才使機械能發(fā)生變化.13解法2：在地面系Ek(t)=mv（t）2=kA2sin2(t), （7）Ep(t) =kx2=kA2cos2(t), （8） E(t)=Ep(t)+Ek(t)=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) =kA2=常數(shù) （9） 在小車系 Ek(t)=m=m（v-u）2=mv2-mv.u+mu2 （10)Ep=P=+=kx2+=kx2+mv.u （11）Ep(t)+Ek(t)=m + kx2+mu2=E+mu2=E （12）式（9）和式