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1、對“重力機械能守恒定律在各慣性系都成立”的修正 前言：文獻1發(fā)表后，收到兩篇批評文章23，我們非常高興，說明兩位作者認真審閱了我們的文章。富蘭克林先生說過：“誰批評我們，誰就是我們的朋友，因為他們指出了我們的缺點”。為了對已發(fā)表的文章負責，對自己的觀點負責，我們把這兩個例題重做一遍。本文假設(shè)地球的質(zhì)量充分大，從而穩(wěn)定地保持為慣性系，按照外場處理?！皥猿终胬?，修正錯誤?！边@是討論問題的正確態(tài)度。 例1 一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點），自地面以上高h處t=0時開始下落，t=T時落到地面。忽略一切非保守力作用。有一相對于地面勻速u上升的電梯，起始時刻兩坐標原點重合。求證：在地面坐標系小球（質(zhì)點）在自由

2、降落過程中機械能守恒。在電梯坐標系小球在自由降落過程中機械能守恒。 （圖1）證明: 由于本題假定地球質(zhì)量充分大，忽略地球能量的變化，只能按照外場計算，此時一個保守力的功等于質(zhì)點勢能的減少。在地面系考察小球的機械能。勢能零點選擇地面。當t0，T時，y(t) 0，h，y(t)= h-gt2， v(t)=-gt，則有Ep(t)=mgy(t)=mg(h-gt2)=mgh-mg2t2Ek(t)=mv2(t)= mg2t2=mg2t2，于是有Ek(t)+ Ep(t)= mgh （1）這即說明t0，T，y(t) 0，h下落過程中小球的機械能守恒。在電梯系考察小球的機械能。在電梯系觀測小球為豎直下拋。按伽利略

3、坐標變換關(guān)系，y為地面系，y1為電梯坐標系y=y1+utv=v1+ua=a1= -g 當t0，T時，y(t) 0，h， y1 (t)= y(t) -ut = h-gt2 -ut ， v1 (t)= v(t) -u =-gt-u，Ep1(t)=mgy1 (t)=mg(h-gt2-ut)=mgh-mg2t2- mgut，Ek1(t)=mv1 (t)2=m(gt+u)2=mg2t2+mu2+mgut，于是E1k(t)+E1p(t)=mgh+mu2 (2)這即證明了小球在下落過程中機械能在電梯系也守恒。例2。在地面上固定一個光滑斜面，斜面高h，傾角為，斜面頂端有一個光滑的滑塊（視為質(zhì)點），其質(zhì)量為m，

4、當t=0時滑塊開始下滑，t=T時滑到地面，忽略一切非保守力作用。 同時有一輛小車沿x軸正方向勻速u直線運動，起始時刻兩個坐標系原點重合。假設(shè)地球的質(zhì)量充分大，穩(wěn)定地保持為慣性系。求證： 在下滑過程中滑塊機械能在地面坐標系守恒；在小車系滑塊的機械能守恒。 （圖2）證明：由于本題假定地球質(zhì)量充分大，忽略地球能量的變化，只能按照外場計算，此時一個保守力的功等于質(zhì)點勢能的減少。首先證明在地面系滑塊的機械能守恒。規(guī)定起始時刻的機械能為mgh。當t時刻滑塊比如滑到A點，動能定理說，合外力對質(zhì)點所做之功等于質(zhì)點動能的增量W=Ek(t)-Ek(0) (3)再用質(zhì)點勢能定理，保守力所做之功等于質(zhì)點勢能增量的相反

5、數(shù)W=Ep (t)- Ep (0) （4）根據(jù)式（4）和式（5）消去W，得Ek(t)+ Ep(t)= Ek(0)+ Ep(0)=mgh （5）這就證明了在地面系滑塊在下滑過程中機械能守恒。證明在小車系滑塊下滑過程中機械能守恒。規(guī)定起始時刻的機械能為mgh。文獻4給出了一個證明方法，下面再給出一種簡短的證明在地面系看來滑塊在斜面上無論如何運動，當滑塊回到原點時支持力的功都等于0，所以斜面的支持力是保守力，又由于力是伽利略變換的不變量，因此在小車系看來支持力也是一個保守力。只要是保守力就可以引入勢能，但是注意是滑塊的支持力勢能，不是斜面的支持力勢能，因為斜面沒有形變。又因為重力也是一個保守力，因此

6、它們的合力也是一個保守力。由于力的保守性具有伽利略變換的不變性（參照下面的例3），因此在小車系看來滑塊受到的合力也是一個保守力。當t0，T，y(t)0，h時，根據(jù)動能定理：合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量W1=Ek1(t)-Ek1 (0) (6)根據(jù)勢能定理：保守力對質(zhì)點做的功等于質(zhì)點勢能增量的相反數(shù)W1=Ep1 (t)-Ep1 (0) （7） 由式（6）和式（7）可以得到E1k(t)+ E1p(t)= E1k(0)+ E1p(0)=mgh （8）式(8)表明在小車系看來滑塊的機械能也是守恒的。有的力學教材中有這樣一個實例在一個相對于地面勻速上升的電梯底部靜止放置一個物體（視為質(zhì)點），在

7、電梯內(nèi)的觀察者看來，沒有任何力對質(zhì)點做功，動能和勢能（取電梯的底部為勢能零點）均為0，機械能守恒；在地面的觀察者看來，電梯底部對于質(zhì)點的支持力做功，動能不變，勢能不斷增加（取地面為勢能零點），機械能不守恒。其實這種分析是錯誤的，在地面系看來電梯的支持力也是一個保守力（很容易證明當電梯上升和下降相同的高度時，支持力做功之和為0，滿足保守力定義。），重力勢能增加多少，支持力勢能減少多少，質(zhì)點受到的合力為0，總勢能不變，動能也不變，因而機械能守恒，機械能守恒定律滿足伽利略變換。重力機械能不守恒，不代表機械能（力學能）不守恒。 例3 定理：在兩個相對勻速運動的慣性系o，O1中，如果o系中的力f是保守力

8、，那么在O1系中的該力F=f也是保守力證明：F=f（r）=F1（R-ut），由于R=r+ut= r(t) +ut=(t)是關(guān)于時間t的連續(xù)函數(shù)，質(zhì)點在任何時刻的速度都是唯一存在的，因此R =(t)是可導函數(shù)，如果該函數(shù)出現(xiàn)常值函數(shù)區(qū)間，質(zhì)點靜止，受到的力是0，不是顯含時間的力，下面不研究這個區(qū)間，去掉該常值函數(shù)區(qū)間，該函數(shù)的極值點可以把它劃分為若干個單調(diào)區(qū)間，設(shè)D是該函數(shù)的任意一個單調(diào)區(qū)間，根據(jù)反函數(shù)的定義在該區(qū)間上存在反函數(shù)t=-1(R)，所以F=f（r）=F1（R -ut）= F1（R-u-1(R)= F2（R），仍然是位置的一元函數(shù)，不是顯含時間的力。dEp=-fdr也是位置的函數(shù)，不顯

9、含時間，在O1系中的該力F=f也是保守力由于在任意單調(diào)區(qū)間上成立，因此在任何位置成立，F(xiàn) =f是O1系中的保守力伽利略變換是一種觀測效應，它的實質(zhì)通俗解釋就是一個質(zhì)點在絕對空間里運動，兩個慣性系里的觀察者測量其速度和位移，然后利用牛頓力學規(guī)律描述其運動，場的坐標不變，在伽利略、牛頓時代還沒有場的概念，認為是超距、瞬時作用，直到法拉第、麥克斯韋時代才提出場的概念。文獻58認為保守力經(jīng)過伽利略變換可以變成非保守力，更有甚者文獻3認為保守力經(jīng)過伽利略變換可以變成顯含時間的力，他們僅僅從F=f（r）=F1（R-ut）出發(fā)得出顯含時間的力，其實經(jīng)過數(shù)學變換可以消去時間t，力經(jīng)過伽利略變換后仍然可以表示為

10、位置的函數(shù)。文獻9認為勢函數(shù)不僅僅與位置有關(guān)，還和速度有關(guān)，其實經(jīng)過變換可以消去速度，表示為位置的函數(shù)。只要力不是顯含時間的力，場也不是顯含時間的力場。結(jié)語：1。在本文中地面系和電梯系（小車系）都按照慣性系處理，小球的運動對于地球的影響忽略不計，否則在地面系和電梯系計算的結(jié)果只是近似守恒，而不是守恒；在地面系和電梯系（小車系）開始時勢能零點重合，其他時刻電梯系的勢能零點是地面系勢能零點的伽利略像點，不是始終重合，兩個慣性系不存在所謂公共勢能零點;按照外場處理勢能屬于質(zhì)點，一個保守力的功等于勢能的減少；按照內(nèi)場處理，勢能屬于系統(tǒng)，一對保守力的功等于勢能的減少。2.Ep1(t)=mgh-mg2t2

11、-mgut，Ep(t)=mgh-mg2t2，二者只是在初始時刻相等，說明重力勢能不具有伽利略變換的不變性。3.無論是地面系還是電梯系，重力都不是顯含時間的力；Ep(t)=mgy(t)，Ep1(t)=mgy1(t)說明勢能都是位置的函數(shù)，不顯含時間;伽利略變換只研究質(zhì)點的速度、坐標的變換，不研究力源重力場的變化。4.由于在自由落體和斜面問題中質(zhì)點受到的力是恒力，運動軌跡又是直線，根據(jù)數(shù)學的對稱性原理，只需研究兩個端點的機械能相等即可，文獻1的論證方法是正確的，文獻2沒有認識到這一點，所以補上這個過程。彈簧振子和單擺問題不存在這個問題，不能只檢驗端點機械能相等。彈簧振子和單擺也是質(zhì)點在外場中的運動

12、，只不過力的大小和方向不斷變化而已。文獻2開頭即說：“他們的論證有錯誤，進而得出的結(jié)論也是錯誤的?！边@句話是錯誤的，作者了解這場爭論過程，知道并相信文章1014的結(jié)論。5.一個力做功等于其各個分力做功之和。在地面系斜面的支持力和重力在垂直于斜面方向的分力是平衡力，它們都不做功，所以重力沿平行于斜面方向的分力做的功等于重力做的功，因此人們長期以來誤認為斜面上下滑滑塊的機械能問題就是重力機械能問題。在小車系斜面的支持力和重力在垂直于斜面方向的分力還是平衡力，它們都做功，但是它們做功之和等于0，因此滑塊沒有離開斜面。由于小車系重力在垂直于斜面方向的分力做功，重力沿平行于斜面方向的分力做的功不再等于重

13、力做的功，因此從本質(zhì)上說斜面上下滑滑塊的機械能問題不是重力機械能問題，而是重力的一個分力機械能問題，直接利用重力機械能守恒定律是錯誤的，應當利用勢能定理（保守力所做的功等于勢能的減少）來計算，這個問題由于與重力勢能類似，所以在文獻1中研究。單擺問題與斜面問題類似，本文不再推導；在這個問題中如果按照重力機械能計算是開放系統(tǒng)，按照機械能計算是封閉系統(tǒng)。有些分析力學教材認為光滑約束中的約束力與實位移垂直，約束力不做功，這是不完善的，因為約束力在一個慣性系里不做功，在另一個慣性系里可能做功，完整的表述應該為光滑約束中的約束力不改變質(zhì)點的機械能，這樣就適用于所有的慣性系了。在分析力學中可以認為是重力機械

14、能問題。直線勻加速度參考坐標系和勻角速度定軸轉(zhuǎn)動參考坐標系，其慣性力為保守力，可以證明此時在非慣性系里光滑約束中的約束力也不改變質(zhì)點的機械能。6.文獻3不僅批評文獻1，還批評文獻1516，他的批評我們是無法接受的，但是我們對他的批評表示感謝。作者的觀點實際是文獻1718觀點的繼承和發(fā)展，作者不做具體計算，只是定性的抽象論說，自我“約定”、“定義”、“定理”批評別人，這不是理論物理的研究方法。盧鶴紱說過：“物理學中最難的就是理論物理，它完全是理論性的，沒有實驗可做，要靠腦子的思維，要靠對整個物理學知識的融會貫通。理論物理是物理學的基礎(chǔ)，只有學好它，才能弄懂其他學科。”這場討論的問題確實比較復雜，

15、國際上也比較糾結(jié)19，我國力學教學界如果解決了這個問題，便走在了世界的前沿。7.牛頓力學中的機械能守恒定律中的勢能對應于所有的有勢力，包括主動力和約束反力，而分析力學中的拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中的勢能只對應于廣義力，廣義力只包含主動力，故兩種勢能不同文獻4提出了約束反力是一個保守力。由于牛頓力學的機械能守恒定律中的勢能對應于所有的有勢力，包括主動力和約束反力，因此牛頓力學的機械能守恒定律勢能包括約束反力勢能，不能僅僅考慮主動力。機械能守恒定律是質(zhì)點動力學規(guī)律，由牛頓第二定律推導而來，牛頓第二定律指的是質(zhì)點受到的合力，因此機械能守恒定律中的保守力應該是保守力的合力，考慮了勢能就不能再計算保守力的