對(duì)“重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立”的修正 前言： 文獻(xiàn)[1]發(fā)表后，收到兩篇批評(píng)文章[2～3]，我們非常高興，說(shuō)明兩位作者認(rèn)真審閱了我們的文章。富蘭克林先生說(shuō)過(guò)：“誰(shuí)批評(píng)我們，誰(shuí)就是我們的朋友，因?yàn)樗麄冎赋隽宋覀兊娜秉c(diǎn)”。為了對(duì)已發(fā)表的文章負(fù)責(zé)，對(duì)自己的觀點(diǎn)負(fù)責(zé)，我們把這兩個(gè)例題重做一遍。本文假設(shè)地球的質(zhì)量充分大，從而穩(wěn)定地保持為慣性系，按照外場(chǎng)處理?！皥?jiān)持真理，修正錯(cuò)誤?！边@是討論問(wèn)題的正確態(tài)度。 例1一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），自地面以上高h(yuǎn)處t=0時(shí)開(kāi)始下落，t=T時(shí)落到地面。忽略一切非保守力作用。有一相對(duì)于地面勻速u(mài)上升的電梯，起始時(shí)刻兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合。求證：①在地面坐標(biāo)系小球（質(zhì)點(diǎn)）在自由降落過(guò)程中機(jī)械能守恒。 ②在電梯坐標(biāo)系小球在自由降落過(guò)程中機(jī)械能守恒。 （圖1） 證明: 由于本題假定地球質(zhì)量充分大，忽略地球能量的變化，只能按照外場(chǎng)計(jì)算，此時(shí)一個(gè)保守力的功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能的減少。 ①在地面系考察小球的機(jī)械能。勢(shì)能零點(diǎn)選擇地面。 當(dāng)t?[0，T]時(shí)，y(t) ?[0，h]，y(t)= h-gt2， v(t)=-gt，則有 Ep(t)=mgy(t)=mg(h-gt2)=mgh-mg2t2 Ek(t)=mv2(t)= mg2t2=mg2t2，于是有Ek(t)+ Ep(t)= mgh （1） 這即說(shuō)明t?[0，T]，y(t) ?[0，h]下落過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒。 ②在電梯系考察小球的機(jī)械能。在電梯系觀測(cè)小球?yàn)樨Q直下拋。 按伽利略坐標(biāo)變換關(guān)系，y為地面系，y1為電梯坐標(biāo)系 y=y1+ut v=v1+u a=a1= -g 當(dāng)t?[0，T]時(shí)，y(t) ?[0，h]， y1 (t)= y(t) -ut = h-gt2 -ut ， v1 (t)= v(t) -u =-gt-u， Ep1(t)=mgy1 (t)=mg(h-gt2-ut)=mgh-mg2t2- mgut， Ek1(t)=m[v1 (t)]2=m(gt+u)2=mg2t2+mu2+mgut，于是E1k(t)+E1p(t)=mgh+mu2 (2) 這即證明了小球在下落過(guò)程中機(jī)械能在電梯系也守恒。 例2。在地面上固定一個(gè)光滑斜面，斜面高h(yuǎn)，傾角為θ，斜面頂端有一個(gè)光滑的滑塊（視為質(zhì)點(diǎn)），其質(zhì)量為m，當(dāng)t=0時(shí)滑塊開(kāi)始下滑，t=T時(shí)滑到地面，忽略一切非保守力作用。同時(shí)有一輛小車(chē)沿x軸正方向勻速u(mài)直線運(yùn)動(dòng)，起始時(shí)刻兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。假設(shè)地球的質(zhì)量充分大，穩(wěn)定地保持為慣性系。 求證： ①在下滑過(guò)程中滑塊機(jī)械能在地面坐標(biāo)系守恒； ②在小車(chē)系滑塊的機(jī)械能守恒。 （圖2） 證明：由于本題假定地球質(zhì)量充分大，忽略地球能量的變化，只能按照外場(chǎng)計(jì)算，此時(shí)一個(gè)保守力的功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能的減少。 ①首先證明在地面系滑塊的機(jī)械能守恒。規(guī)定起始時(shí)刻的機(jī)械能為mgh。 當(dāng)t時(shí)刻滑塊比如滑到A點(diǎn)，動(dòng)能定理說(shuō)，合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做之功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量W=Ek(t)-Ek(0) (3)再用質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能定理，保守力所做之功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能增量的相反數(shù)W=—[Ep (t)- Ep (0)] （4） 根據(jù)式（4）和式（5）消去W，得Ek(t)+Ep(t)=Ek(0)+Ep(0)=mgh （5） 這就證明了在地面系滑塊在下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒。 ②證明在小車(chē)系滑塊下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒。規(guī)定起始時(shí)刻的機(jī)械能為mgh。 文獻(xiàn)[4]給出了一個(gè)證明方法，下面再給出一種簡(jiǎn)短的證明—————— 在地面系看來(lái)滑塊在斜面上無(wú)論如何運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊回到原點(diǎn)時(shí)支持力的功都等于0，所以斜面的支持力是保守力，又由于力是伽利略變換的不變量，因此在小車(chē)系看來(lái)支持力也是一個(gè)保守力。只要是保守力就可以引入勢(shì)能，但是注意是滑塊的支持力勢(shì)能，不是斜面的支持力勢(shì)能，因?yàn)樾泵鏇](méi)有形變。又因?yàn)橹亓σ彩且粋€(gè)保守力，因此它們的合力也是一個(gè)保守力。由于力的保守性具有伽利略變換的不變性（參照下面的例3），因此在小車(chē)系看來(lái)滑塊受到的合力也是一個(gè)保守力。 當(dāng)t?[0，T]，y(t)?[0，h]時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量 W1=Ek1(t)-Ek1 (0) (6) 根據(jù)勢(shì)能定理：保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能增量的相反數(shù) W1=—[Ep1 (t)-Ep1 (0)] （7） 由式（6）和式（7）可以得到E1k(t)+ E1p(t)=E1k(0)+E1p(0)=mgh （8） 式(8)表明在小車(chē)系看來(lái)滑塊的機(jī)械能也是守恒的。 有的力學(xué)教材中有這樣一個(gè)實(shí)例——在一個(gè)相對(duì)于地面勻速上升的電梯底部靜止放置一個(gè)物體（視為質(zhì)點(diǎn)），在電梯內(nèi)的觀察者看來(lái)，沒(méi)有任何力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功，動(dòng)能和勢(shì)能（取電梯的底部為勢(shì)能零點(diǎn)）均為0，機(jī)械能守恒；在地面的觀察者看來(lái)，電梯底部對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的支持力做功，動(dòng)能不變，勢(shì)能不斷增加（取地面為勢(shì)能零點(diǎn)），機(jī)械能不守恒。其實(shí)這種分析是錯(cuò)誤的，在地面系看來(lái)電梯的支持力也是一個(gè)保守力（很容易證明當(dāng)電梯上升和下降相同的高度時(shí)，支持力做功之和為0，滿足保守力定義。），重力勢(shì)能增加多少，支持力勢(shì)能減少多少，質(zhì)點(diǎn)受到的合力為0，總勢(shì)能不變，動(dòng)能也不變，因而機(jī)械能守恒，機(jī)械能守恒定律滿足伽利略變換。重力機(jī)械能不守恒，不代表機(jī)械能（力學(xué)能）不守恒。 例3定理：在兩個(gè)相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系o，O1中，如果o系中的力f是保守力，那么在O1系中的該力F=f也是保守力． 證明：F=f（r）=F1（R-ut），由于R=r+ut=r(t)+ut=φ(t)是關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)在任何時(shí)刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)是可導(dǎo)函數(shù)，如果該函數(shù)出現(xiàn)常值函數(shù)區(qū)間，質(zhì)點(diǎn)靜止，受到的力是0，不是顯含時(shí)間的力，下面不研究這個(gè)區(qū)間，去掉該常值函數(shù)區(qū)間，該函數(shù)的極值點(diǎn)可以把它劃分為若干個(gè)單調(diào)區(qū)間，設(shè)D是該函數(shù)的任意一個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)反函數(shù)的定義在該區(qū)間上存在反函數(shù)t=φ-1(R)，所以F=f（r）=F1（R-ut）=F1（R-uφ-1(R)=F2（R），仍然是位置的一元函數(shù)，不是顯含時(shí)間的力。dEp=-fdr也是位置的函數(shù)，不顯含時(shí)間，在O1系中的該力F=f也是保守力．由于在任意單調(diào)區(qū)間上成立，因此在任何位置成立，F(xiàn) =f是O1系中的保守力． 伽利略變換是一種觀測(cè)效應(yīng)，它的實(shí)質(zhì)通俗解釋就是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在絕對(duì)空間里運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)慣性系里的觀察者測(cè)量其速度和位移，然后利用牛頓力學(xué)規(guī)律描述其運(yùn)動(dòng)，場(chǎng)的坐標(biāo)不變，在伽利略、牛頓時(shí)代還沒(méi)有場(chǎng)的概念，認(rèn)為是超距、瞬時(shí)作用，直到法拉第、麥克斯韋時(shí)代才提出場(chǎng)的概念。 文獻(xiàn)[5～8]認(rèn)為保守力經(jīng)過(guò)伽利略變換可以變成非保守力，更有甚者文獻(xiàn)[3]認(rèn)為保守力經(jīng)過(guò)伽利略變換可以變成顯含時(shí)間的力，他們僅僅從F=f（r）=F1（R-ut）出發(fā)得出顯含時(shí)間的力，其實(shí)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變換可以消去時(shí)間t，力經(jīng)過(guò)伽利略變換后仍然可以表示為位置的函數(shù)。文獻(xiàn)[9]認(rèn)為勢(shì)函數(shù)不僅僅與位置有關(guān)，還和速度有關(guān)，其實(shí)經(jīng)過(guò)變換可以消去速度，表示為位置的函數(shù)。只要力不是顯含時(shí)間的力，場(chǎng)也不是顯含時(shí)間的力場(chǎng)。 結(jié)語(yǔ)： 1.在本文中地面系和電梯系（小車(chē)系）都按照慣性系處理，小球的運(yùn)動(dòng)對(duì)于地球的影響忽略不計(jì)，否則在地面系和電梯系計(jì)算的結(jié)果只是近似守恒，而不是守恒；在地面系和電梯系（小車(chē)系）開(kāi)始時(shí)勢(shì)能零點(diǎn)重合，其他時(shí)刻電梯系的勢(shì)能零點(diǎn)是地面系勢(shì)能零點(diǎn)的伽利略像點(diǎn)，不是始終重合，兩個(gè)慣性系不存在所謂公共勢(shì)能零點(diǎn);按照外場(chǎng)處理勢(shì)能屬于質(zhì)點(diǎn)，一個(gè)保守力的功等于勢(shì)能的減少；按照內(nèi)場(chǎng)處理，勢(shì)能屬于系統(tǒng)，一對(duì)保守力的功等于勢(shì)能的減少。 2.Ep1(t)=mgh-mg2t2-mgut，Ep(t)=mgh-mg2t2，二者只是在初始時(shí)刻相等，說(shuō)明重力勢(shì)能不具有伽利略變換的不變性。 3.無(wú)論是地面系還是電梯系，重力都不是顯含時(shí)間的力；Ep(t)=mgy(t)，Ep1(t)=mgy1(t)說(shuō)明勢(shì)能都是位置的函數(shù)，不顯含時(shí)間;伽利略變換只研究質(zhì)點(diǎn)的速度、坐標(biāo)的變換，不研究力源——重力場(chǎng)的變化。 4.由于在自由落體和斜面問(wèn)題中質(zhì)點(diǎn)受到的力是恒力，運(yùn)動(dòng)軌跡又是直線，根據(jù)數(shù)學(xué)的對(duì)稱性原理，只需研究?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)的機(jī)械能相等即可，文獻(xiàn)[1]的論證方法是正確的，文獻(xiàn)[2]沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，所以補(bǔ)上這個(gè)過(guò)程。彈簧振子和單擺問(wèn)題不存在這個(gè)問(wèn)題，不能只檢驗(yàn)端點(diǎn)機(jī)械能相等。彈簧振子和單擺也是質(zhì)點(diǎn)在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，只不過(guò)力的大小和方向不斷變化而已。文獻(xiàn)[2]開(kāi)頭即說(shuō)：“他們的論證有錯(cuò)誤，進(jìn)而得出的結(jié)論也是錯(cuò)誤的?！边@句話是錯(cuò)誤的，作者了解這場(chǎng)爭(zhēng)論過(guò)程，知道并相信文章[10～14]的結(jié)論。 5.一個(gè)力做功等于其各個(gè)分力做功之和。在地面系斜面的支持力和重力在垂直于斜面方向的分力是平衡力，它們都不做功，所以重力沿平行于斜面方向的分力做的功等于重力做的功，因此人們長(zhǎng)期以來(lái)誤認(rèn)為斜面上下滑滑塊的機(jī)械能問(wèn)題就是重力機(jī)械能問(wèn)題。在小車(chē)系斜面的支持力和重力在垂直于斜面方向的分力還是平衡力，它們都做功，但是它們做功之和等于0，因此滑塊沒(méi)有離開(kāi)斜面。由于小車(chē)系重力在垂直于斜面方向的分力做功，重力沿平行于斜面方向的分力做的功不再等于重力做的功，因此從本質(zhì)上說(shuō)斜面上下滑滑塊的機(jī)械能問(wèn)題不是重力機(jī)械能問(wèn)題，而是重力的一個(gè)分力機(jī)械能問(wèn)題，直接利用重力機(jī)械能守恒定律是錯(cuò)誤的，應(yīng)當(dāng)利用勢(shì)能定理（保守力所做的功等于勢(shì)能的減少）來(lái)計(jì)算，這個(gè)問(wèn)題由于與重力勢(shì)能類似，所以在文獻(xiàn)[1]中研究。單擺問(wèn)題與斜面問(wèn)題類似，本文不再推導(dǎo)；在這個(gè)問(wèn)題中如果按照重力機(jī)械能計(jì)算是開(kāi)放系統(tǒng)，按照機(jī)械能計(jì)算是封閉系統(tǒng)。有些分析力學(xué)教材認(rèn)為光滑約束中的約束力與實(shí)位移垂直，約束力不做功，這是不完善的，因?yàn)榧s束力在一個(gè)慣性系里不做功，在另一個(gè)慣性系里可能做功，完整的表述應(yīng)該為——光滑約束中的約束力不改變質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能，這樣就適用于所有的慣性系了。在分析力學(xué)中可以認(rèn)為是重力機(jī)械能問(wèn)題。直線勻加速度參考坐標(biāo)系和勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參考坐標(biāo)系，其慣性力為保守力，可以證明此時(shí)在非慣性系里光滑約束中的約束力也不改變質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能。 6.文獻(xiàn)[3]不僅批評(píng)文獻(xiàn)[1]，還批評(píng)文獻(xiàn)[15～16]，他的批評(píng)我們是無(wú)法接受的，但是我們對(duì)他的批評(píng)表示感謝。作者的觀點(diǎn)實(shí)際是文獻(xiàn)[17～18]觀點(diǎn)的繼承和發(fā)展，作者不做具體計(jì)算，只是定性的抽象論說(shuō)，自我“約定”、“定義”、“定理”批評(píng)別人，這不是理論物理的研究方法。盧鶴紱說(shuō)過(guò)：“物理學(xué)中最難的就是理論物理，它完全是理論性的，沒(méi)有實(shí)驗(yàn)可做，要靠腦子的思維，要靠對(duì)整個(gè)物理學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通。理論物理是物理學(xué)的基礎(chǔ)，只有學(xué)好它，才能弄懂其他學(xué)科?！边@場(chǎng)討論的問(wèn)題確實(shí)比較復(fù)雜，國(guó)際上也比較糾結(jié)[19]，我國(guó)力學(xué)教學(xué)界如果解決了這個(gè)問(wèn)題，便走在了世界的前沿。 7.牛頓力學(xué)中的機(jī)械能守恒定律中的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于所有的有勢(shì)力，包括主動(dòng)力和約束反力，而分析力學(xué)中的拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中的勢(shì)能只對(duì)應(yīng)于廣義力，廣義力只包含主動(dòng)力，故兩種勢(shì)能不同．文獻(xiàn)[4]提出了約束反力是一個(gè)保守力。由于牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒定律中的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于所有的有勢(shì)力，包括主動(dòng)力和約束反力，因此牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒定律勢(shì)能包括約束反力勢(shì)能，不能僅僅考慮主動(dòng)力。機(jī)械能守恒定律是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律，由牛頓第二定律推導(dǎo)而來(lái)，牛頓第二定律指的是質(zhì)點(diǎn)受到的合力，因此機(jī)械能守恒定律中的保守力應(yīng)該是保守力的合力，考慮了勢(shì)能就不能再計(jì)算保守力的功了。質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力在兩