答《就<對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷>一文的討論》 摘要：說(shuō)明了論文《就<對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷>一文的討論》錯(cuò)誤． 關(guān)鍵詞：物理競(jìng)賽試題；彈簧振子；動(dòng)能；勢(shì)能；機(jī)械能守恒 中圖分類號(hào)：O 313.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 《科學(xué)網(wǎng)》發(fā)表了陳奎孚先生評(píng)論我們的論文《對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷》[1]的稿件《就<對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷>一文的討論》（簡(jiǎn)稱為陳文）．對(duì)于陳文的評(píng)論，我們分1，2兩大部分回應(yīng)如下： 1關(guān)于和陳文討論的總體意見 1.1關(guān)于我們論文的錯(cuò)誤 陳文在其1中⑵里說(shuō)：【“輕質(zhì)彈簧抽去其質(zhì)量屬性以后，只是作為傳遞力的工具”的“傳遞力的工具”很不恰當(dāng)．】 【文[1]的最后一段“由于在這個(gè)問(wèn)題中彈簧僅僅是傳遞彈力，約束力與保守力是同一個(gè)力”必然是不正確的．】 力的大小、方向和作用點(diǎn)是力的三要素，但是我們必須本質(zhì)地看待力的作用點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)牛頓第二定律力必須作用在有質(zhì)量的點(diǎn)上，因此在研究彈簧振子和單擺問(wèn)題中必須注意這個(gè)問(wèn)題.在彈簧振子問(wèn)題中，一般不考慮彈簧質(zhì)量（如果考慮彈簧質(zhì)量，在各個(gè)慣性系機(jī)械能都不守恒，就不是彈簧振子了，這與實(shí)驗(yàn)中的彈簧是有區(qū)別的，實(shí)驗(yàn)中的彈簧由于具有質(zhì)量同時(shí)具有動(dòng)能和勢(shì)能.），因此彈力的作用點(diǎn)是振子（或者說(shuō)小球），而不是彈簧. 有些力學(xué)教材給出的彈性勢(shì)能的定義——由于彈性形變而具有的勢(shì)能叫彈性勢(shì)能，此時(shí)必須考慮彈性體的動(dòng)能，否則會(huì)造成矛盾.例如把一個(gè)彈簧壓縮后放入真空中，它的勢(shì)能不斷變化，如果不考慮動(dòng)能，顯然不滿足能量守恒定律.這樣動(dòng)能定理就不成立了，外力做功了，動(dòng)能卻沒(méi)有變化.彈弓和彎曲的樹枝等發(fā)生彈性形變的物體具有勢(shì)能，在變化的過(guò)程中也具有動(dòng)能，實(shí)踐中可以忽略動(dòng)能，是近似處理.如果把彈性勢(shì)能定義為由于質(zhì)點(diǎn)受到彈力作用而具有的勢(shì)能叫做彈性勢(shì)能就比較完整了，不但包括彈簧振子中的彈性勢(shì)能，也包括具有質(zhì)量的彈簧、彈弓、弓箭等彈性勢(shì)能，甚至包括斜面上的滑塊受到的彈力——支持力等具有的彈性勢(shì)能. 既然力的作用點(diǎn)是小球，所以沒(méi)有質(zhì)量的彈簧可以認(rèn)為是傳遞力的媒介.我們可以把牛頓第二定律和歐姆定律進(jìn)行類比，合外力相當(dāng)于電壓，質(zhì)量相當(dāng)于電阻，加速度相當(dāng)于電流.這是理想化模型，類似于導(dǎo)線抽取電阻、電感等屬性后用電器的電壓等于電源兩端的電壓一樣.彈簧振子不是彈簧+質(zhì)點(diǎn)，而是質(zhì)點(diǎn)受到線性回復(fù)力.下面利用反證法說(shuō)明考慮墻壁的作用力，勁度系數(shù)依然按照k計(jì)算的錯(cuò)誤——假設(shè)墻壁的作用力單獨(dú)改變振子的機(jī)械能，與振子的作用力一樣，根據(jù)對(duì)稱性原理，必然改變彈簧的形變，那么彈簧的形變就不再是伽利略變換的不變量，以彈簧的伸長(zhǎng)為例，如果考慮墻壁的作用，當(dāng)振子運(yùn)動(dòng)到最大位移處，振子對(duì)于彈簧的拉力F=kA.對(duì)于小車系，測(cè)量的力也是F=kA，墻壁的拉力是F1=-kA，如果此時(shí)勁度系數(shù)依然按照k計(jì)算，此時(shí)彈簧的形變?yōu)?A,這樣彈簧的形變就不是伽利略變換不變量，顯然是錯(cuò)誤的. 1.2關(guān)于我們論文的原則 1)在科學(xué)的研究中，要證明一個(gè)命題是否正確，必須以科學(xué)理論中的定義、公理、定理、原理、定律、公式等作為正確的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)推理．這是科學(xué)理論中起碼的常識(shí)，也是我們論文里基本的原則． 2)在力學(xué)的研究中，因?yàn)槲矬w具有體積，所以當(dāng)力作用到物體上的不同位置時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生不同的效果，這就對(duì)力學(xué)的研究帶來(lái)極大的不便．為了方便起見，人們就抽掉物體的體積，只留下物體的質(zhì)量，并把只有質(zhì)量而無(wú)體積的物體叫做質(zhì)點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)叫做質(zhì)點(diǎn)力學(xué)．因?yàn)槌榈粑矬w的體積在實(shí)踐中不能做到，所以質(zhì)點(diǎn)是個(gè)理想模型，研究理想模型得出的結(jié)論叫做理論． 3)在研究彈簧振子的振動(dòng)時(shí)，因?yàn)閺椈刹粌H具有體積，而且還可變形，所以彈簧的運(yùn)動(dòng)要比一般物體、剛體的運(yùn)動(dòng)更為復(fù)雜，與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)也很不同，這就給彈簧振子的研究帶來(lái)不便．為了方便起見，人們就抽掉彈簧的體積和質(zhì)量，只留下彈簧產(chǎn)生彈力的性質(zhì)，并把只有產(chǎn)生彈力的性質(zhì)而無(wú)體積和質(zhì)量的彈簧叫做輕質(zhì)彈簧．因?yàn)槌榈魪椈傻捏w積和質(zhì)量在實(shí)踐中不能做到，所以輕質(zhì)彈簧是個(gè)理想模型，研究理想模型得出的結(jié)論叫做理論． 在研究一端固定在墻壁上的彈簧振子的振動(dòng)時(shí)，必須把彈簧視為輕質(zhì)彈簧． 4)在物理學(xué)的研究中，往往使用數(shù)學(xué)理論中的坐標(biāo)系，把帶有坐標(biāo)系的參考物體或參照物體叫做參考系或參照系．在數(shù)學(xué)、物理學(xué)理論中：每一個(gè)坐標(biāo)系或參照系只能有一個(gè)原點(diǎn)．這是數(shù)理理論中起碼的常識(shí)，也是我們論文里基本的原則． 2關(guān)于和陳文討論的具體意見 2.1對(duì)于陳文的1的意見 1)陳文在其1中說(shuō)：【文[1]認(rèn)為參考答案是錯(cuò)誤的，論證的手段是數(shù)學(xué)演繹，然而該演繹有一個(gè)關(guān)鍵失誤，即文[1]式(4)下方的（本段隨后敘述根據(jù)文[1]）=- (1),式中：，，分別是勻速運(yùn)動(dòng)參考系中觀察到彈簧勢(shì)能，小球位移和位移的微分；為彈簧勢(shì)能的微元；f=kx為小球所受到的力． 如果動(dòng)參考系的速度u=0，那么就回到了x(見圖1),(1)式無(wú)疑是正確的，但是如果的坐標(biāo)原點(diǎn)也在運(yùn)動(dòng)，那么再使用式(1)就不合適了．】 陳文要說(shuō)明式(1)【失誤】、【不合適】，必須用定義、公理、定理、原理、定律、公式等作為正確的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)推理. 2)陳文在上述1)中那一段里還有4個(gè)小錯(cuò)誤如下： ①陳文說(shuō)的【勻速運(yùn)動(dòng)參考系】或【動(dòng)參考系】錯(cuò)誤，把其改成小車參考系才正確．因?yàn)樾≤囅岛偷孛嫦档倪\(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，在小車上觀察時(shí)，小車就成了靜止系，地面就成了運(yùn)動(dòng)系． ②在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動(dòng)模型，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)與距離r成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.陳文說(shuō)的【彈簧勢(shì)能】錯(cuò)誤，把其改成“振子勢(shì)能”或“小球勢(shì)能”才正確．理由為：從上述1.2中的3)里知，在研究一端固定在墻壁上的彈簧振子的振動(dòng)時(shí)，必須把彈簧視為輕質(zhì)彈簧．輕質(zhì)彈簧是沒(méi)有質(zhì)量的．據(jù)力學(xué)中力的定義知，力是物體間的相互作用，物體被視為質(zhì)點(diǎn)后，力就是質(zhì)點(diǎn)間的相互作用．所以力不是物體或質(zhì)點(diǎn)和幾何點(diǎn)間的相互作用．所以物體或質(zhì)點(diǎn)施與的力不能作用在已成為幾何點(diǎn)的輕質(zhì)彈簧上，所以輕質(zhì)彈簧不能受到任何力的作用而做功，所以輕質(zhì)彈簧就沒(méi)有由功轉(zhuǎn)化來(lái)的勢(shì)能了．因?yàn)閺椈烧褡芋w系質(zhì)點(diǎn)受到線性回復(fù)力，所以彈簧振子體系的勢(shì)能就全部歸于振子或小球了．所以把【彈簧勢(shì)能】改為“振子勢(shì)能”或“小球勢(shì)能”才正確． 再說(shuō)陳文的文獻(xiàn)[10]在第164頁(yè)上定義彈簧振子的勢(shì)能時(shí)說(shuō)：“這個(gè)質(zhì)點(diǎn)在彈力作用下相對(duì)于平衡位置具有轉(zhuǎn)換成其他運(yùn)動(dòng)形態(tài)的一定‘能力’，稱為質(zhì)點(diǎn)在彈力作用下相對(duì)于平衡位置的彈性勢(shì)能”．這就是說(shuō)，文獻(xiàn)[10]早已明確聲明：彈性勢(shì)能是屬于質(zhì)點(diǎn)的，即是屬于振子或小球的，當(dāng)然就不能屬于彈簧了．所以把【彈簧勢(shì)能】改為“振子勢(shì)能”或“小球勢(shì)能”才正確． E(t)= kx2=mω2x2，如果這樣表達(dá)彈性勢(shì)能，就可以看出彈性勢(shì)能屬于小球，而不是屬于彈簧. ③陳文說(shuō)的【f=kx】錯(cuò)誤，把其改為f=-kx才正確．因?yàn)閾?jù)力學(xué)中的胡克定律知：f=-kx． ④陳文說(shuō)的【的坐標(biāo)原點(diǎn)也在運(yùn)動(dòng)】是錯(cuò)誤的．因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)不屬于而屬于參照系，且相對(duì)于系并不運(yùn)動(dòng)． 3)陳文雖然沒(méi)有用上述正確的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)推理論證，但是也企圖用類比的方法來(lái)說(shuō)明我們的式(1)【失誤】、【不合適】．例如陳文說(shuō)：【比如圖2的兩個(gè)自由度系統(tǒng)，第二個(gè)彈簧k2的勢(shì)能Ep2(t)按照式(1)的邏輯究竟應(yīng)該為 dEp2(t)=-fdx1 (此處f=k2(x2-x1)) 還是dEp2(t)=-f dx2 呢？顯然二者都不對(duì)．Ep2(t)應(yīng)該是x1和x2的二元函數(shù) (其實(shí)勢(shì)能應(yīng)該寫成 Ep2(x1，x2)，但是為了與文[1]的符號(hào)一致，還是用了Ep2(t))，它的全微分應(yīng)該為 dEp2=dx1+dx2 (2)】． 對(duì)陳文的這個(gè)類比法，我談4條意見如下： ①我們的論文討論的是一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)．陳文的類比法中舉得例子是兩個(gè)彈簧振子系統(tǒng)，而且這兩個(gè)彈簧振子系統(tǒng)還串聯(lián)在一起，這就使得每個(gè)振子的受力情況比一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)中振子的受力情況不同．這種結(jié)構(gòu)及受力情況的不類同，導(dǎo)致了陳文的類比法中舉得例子和我們論文中的彈簧振子系統(tǒng)沒(méi)有類比性． ②利用類比法舉例時(shí)，舉得例子應(yīng)該與被比的事物類同或更簡(jiǎn)單．而陳文舉得例子與被比的事物要復(fù)雜得多，這就大大增加了用類比法說(shuō)明問(wèn)題的難度，從而失去了使用類比法的意義． ③利用類比法舉例時(shí)，舉得例子必須正確．而陳文在自己的類比法中說(shuō)的【Ep2(t)應(yīng)該是x1和x2的二元函數(shù)(其實(shí)勢(shì)能應(yīng)該寫成Ep2(x1，x2)，…)，它的全微分應(yīng)該為 dEp2=dx1+dx2 (2)】 沒(méi)有說(shuō)明理由，故無(wú)法保證式(2)正確．事實(shí)上，【Ep2(t)應(yīng)該是x1和x2的二元函數(shù)】和式(2)都是錯(cuò)誤的．因?yàn)槎瘮?shù)的兩個(gè)自變量必須互相獨(dú)立，而x1和x2卻同時(shí)變化．這說(shuō)明陳文對(duì)二元函數(shù)的定義理解錯(cuò)誤． ④如果糾正了陳文在上述①，②，③中的錯(cuò)誤，那么就使陳文的類比法中的例子成為一個(gè)彈簧振子系統(tǒng)，故按照式(1)的邏輯有dEp(t)=-fdx．而陳文通過(guò)【如果動(dòng)參考系的速度u=0，那么就回到了x（見圖1），式(1)無(wú)疑是正確的】承認(rèn)了dEp(t)=-fdx正 確，因此也就承認(rèn)了我們的式(1)=-正確． 4)其實(shí)，我們的式(1)是正確的，是不失誤的，是合適的．理由為：我們的式(1)是根據(jù)公認(rèn)正確的勢(shì)能定理推導(dǎo)出的．勢(shì)能定理為：保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于該質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能的減少量．陳文說(shuō)【如果動(dòng)參考系的速度u=0，…，式(1)無(wú)疑是正確的】，這就說(shuō)明陳文也承認(rèn)在地面系的勢(shì)能定理dEp(t)=-fdx正確．但因?yàn)樾≤囅凳菓T性系，所以據(jù)力學(xué)相對(duì)性原理知，在小車系勢(shì)能定理也有相同的形式，即= -= -正確．所以我們論文中的式(1)的來(lái)歷是有根據(jù)、有理由的，因此是正確的． 5)陳文在其1中說(shuō)：【回到圖1的模型，在動(dòng)參考系里觀察，彈簧的左端O不再保持不動(dòng)，如圖3所示模型．在圖3中，彈簧左右兩個(gè)端點(diǎn)各有一個(gè)參考原點(diǎn)，這兩個(gè)原點(diǎn)隨動(dòng)參考系一起勻速運(yùn)動(dòng)．左右兩個(gè)端點(diǎn)相對(duì)動(dòng)參考系的位移分別為和．如 同圖 2，在動(dòng)參考系中觀察到的彈簧勢(shì)能(t)是和的函數(shù)，即(t)=k(-)2/2，所以 =+ (3)…… 式(1)失誤在于把式(3)右邊的第二項(xiàng)丟掉了，它正是墻壁作 用力對(duì)系統(tǒng)所做的元功.第二項(xiàng)的存在，動(dòng)參考系中機(jī)械能不守恒的數(shù)學(xué)表現(xiàn)．高炳坤先生早就論證過(guò)這個(gè)問(wèn)題了[9]．】 對(duì)于陳文上述的這段話，我談4條意見如下： ①陳文在上述這段話中說(shuō)到：【彈簧左右兩個(gè)端點(diǎn)各有一個(gè)參考原點(diǎn)，這兩個(gè)原點(diǎn)隨動(dòng)參考系一起勻速運(yùn)動(dòng)．】 只有坐標(biāo)系或參照系才有原點(diǎn)，【兩個(gè)端點(diǎn)】不會(huì)【各有一個(gè)參考原點(diǎn)】；在每一個(gè)坐標(biāo)系或參照系中只有一個(gè)原點(diǎn)，不會(huì)有【兩個(gè)原點(diǎn)】．這是數(shù)理知識(shí)中起碼的常識(shí)，也是我們論文里基本的原則． ②在我們的論文中，在地面系觀察：以彈簧未被拉伸和壓縮時(shí)（彈簧平衡時(shí)）的振子或小球即質(zhì)點(diǎn)m所處地面位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直線坐標(biāo)系ox（如圖1所示），則o點(diǎn)的坐標(biāo)為= 0．彈簧的左端點(diǎn)O因與墻壁相連故靜止，其坐標(biāo)為．設(shè)彈簧的自然長(zhǎng)度為 L，則L=-=0-=-.將振子從o開始向右拉動(dòng)距離x，則彈簧的伸縮量=振子的位移量=x-=x-0=x．此時(shí)放手后，據(jù)胡克定律知，振子受到的彈簧的彈力為f=-kx，并做簡(jiǎn)諧振動(dòng)．故振子做的微分功(即元功)為：dw=f×dx=-kxdx，所以振子從位置0處到位置x處做的總功為： w==dx=-k×(-)=-． 因?yàn)檎褡釉趂的作用下做的功僅與位置x有關(guān)，所以f是保守力． 墻壁 k O 圖1 光滑地面 x m ○ ○ 小 車 u o x 據(jù)2.2中4)里說(shuō)到的勢(shì)能定理得：w=EP(0)-EP(x)，所以 -=0-EP(x)，EP(x)==(ωt)=EP(t)． 這說(shuō)明勢(shì)能符號(hào)EP(t)是正確的，不是【應(yīng)該寫成 Ep2(x1，x2)，但 是為了與文[1]的符號(hào)一致，還是用了Ep2(t)】的． 我們的論文已經(jīng)聲明，小車系剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)與地面系完全重合，即小車系的坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧的左端點(diǎn)分別與地面系的坐標(biāo)原點(diǎn)o