《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程測評二含解析新人教A版選擇性必修第一冊.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程測評二含解析新人教A版選擇性必修第一冊.docx（11頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、1 第三章測評第三章測評( (二二) ) (時間:120 分鐘 滿分:150分) 一、選擇題:本題共 8小題,每小題 5分,共 40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.直線 y=kx-k+1 與橢圓 =1的位置關(guān)系為 ( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定 解析直線 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒過定點(1,1),又點(1,1)在橢圓內(nèi)部,故直線與橢圓相交. 答案 A 2.如果方程 =1 表示焦點在 x 軸上的橢圓,那么實數(shù) a的取值范圍是( ) A.(3,+) B.(-,-2) C.(-,-2)(3,+) D.(-6,-2)(3,+) 答案 D 3

2、.(2021 貴州貴陽模擬)已知橢圓 C: =1(m4)的離心率為 ,則橢圓 C的長軸長為( ) A. B.6 C.2 D.12 解析由題意可知 - ,解得 m=6,即 a= ,所以橢圓長軸長為 2 . 答案 C 4.已知點 M(3,y0)是拋物線 y2=2px(0p6)上一點,且 M 到拋物線焦點的距離是 M 到直線 x= 的距離的 2倍,則 p等于( ) A.1 B.2 C. D.3 解析由拋物線的定義及已知條件可得 3+ =2| - |,又 0pb0)的兩條漸近線夾角為 ,且 tan = ,則其離心率為 ( ) A. B.2或 C. D. 或 解析雙曲線 =1(ab0)的兩條漸近線夾角為

3、 ,且 tan= ,一條漸近線的斜率為 tan , 則 - ,解得 tan 或 tan =-2(舍), e2=1+( ) ,e= (負值舍掉). 2 答案 A 6.過拋物線 y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于 A,B 兩點,它們的橫坐標之和等于 2,則這樣的直線( ) A.有且只有一條 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有且只有四條 解析設(shè)該拋物線的焦點為 F,A,B的橫坐標分別為 xA,xB,則|AB|=|AF|+|FB|=xA+ +xB+ =xA+xB+1=32p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條. 答案 B 7. 如圖所示,雙曲線 =1(a0,b0)的左、右焦點分別是 F1,

4、F2,過 F1作傾斜角為 30的直線交雙曲線右支于點 M,連接 MF2,若 MF2垂直于 x 軸,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 解析將 x=c代入雙曲線的方程,得 y= , 點 M 在第一象限, M( ). 在MF1F2中,tan30= ,即 - , 解得 e= ,e=- (舍). 答案 B 8.(2021 河南鄭州模擬)已知雙曲線 D:x2-y2=1,點 M在雙曲線 D 上,點 N在直線 l:y=kx 上,l的傾斜角 ( ),且|ON|2= ,雙曲線 D在點 M處的切線與 l平行,則OMN的面積的最大值為( ) A. - B. - C. D. - 解析由題意,不妨設(shè) M(

5、x0,y0)在第一象限,則雙曲線 D在 M處的切線方程為 x0 x-y0y=1, 所以 k= ,又因為 =1, 3 聯(lián)立 - 解得 - - 點 M到直線 l的距離 d= - | - - - | - , 因為|ON|2= ,所以|ON|= ,所以 SOMN= |ON| d= - - , 令 t=k2-1,則 k2=t+1,因為 ( ), 所以 k1, 所以 t0, SOMN= - ,當且僅當 t= ,即 t= 時取等號,即面積取到最大值 - . 答案 D 二、選擇題:本題共 4小題,每小題 5分,共 20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得 5分,有選錯的得 0分,部分選對

6、的得 3分. 9.設(shè)圓錐曲線 C的兩個焦點分別為 F1,F2,若曲線 C上存在點 P滿足|PF1|F1F2|PF2|=432,則曲線 C的離心率等于( ) A. B. C. D.2 解析設(shè)圓錐曲線 C 的離心率為 e, 根據(jù)|PF1|F1F2|PF2|=432, 若圓錐曲線為橢圓, 則由橢圓的定義,得 e= ;若圓錐曲線為雙曲線,則由雙曲線的定義, 得 e= - - . 綜上,所求的離心率為 或 .故選 AC. 答案 AC 10.(2021 廣東廣州模擬)已知方程 x2sin -y2sin 2=1,則( ) A.存在實數(shù) ,使該方程對應(yīng)的圖形是圓,且圓的面積為 B.存在實數(shù) ,使該方程對應(yīng)的圖

7、形是平行于 x 軸的兩條直線 C.存在實數(shù) ,使該方程對應(yīng)的圖形是焦點在 x 軸上的雙曲線,且雙曲線的離心率為 D.存在實數(shù) ,使該方程對應(yīng)的圖形是焦點在 x 軸上的橢圓,且橢圓的離心率為 解析對于 A:若存在,只需 sin=-sin20, 4 即 sin=-2sincos0, 得 cos=- ,所以 sin= ,方程即為 x2+y2= ,圓的半徑滿足 r2= ,故圓面積為 r2= ,故 A 錯誤; 對于 B:令 sin=0,則有 sin2=2sincos=0,方程化為 0=1,顯然不成立,故 B 錯誤; 對于 C:取 sin=sin20,由前面可知,sin0,所以 cos= ,取 = ,則方

8、程為 =1,為等軸雙曲線,故離心率為 ,故 C正確; 對于 D:將方程化為標準形式為 - =1,故 a2= 0,b2=- 0,且 - ,則由已知得 ( ) =e2= , 整理得 =1+ ,解得 cos=- ,又由上述三個不等式知 sin0,cos- ,所以顯然存在滿足題意的 的值,故 D正確. 答案 CD 11.(2021 山東濱州一模)已知橢圓 M: =1的左、右焦點分別是 F1,F2,左、右頂點分別是 A1,A2,點 P 是橢圓上異于 A1,A2的任意一點,則下列說法正確的是 ( ) A.|PF1|+|PF2|=5 B.直線 PA1與直線 PA2的斜率之積為- C.存在點 P滿足F1PF2

9、=90 D.若F1PF2的面積為 4 ,則點 P 的橫坐標為 解析由橢圓方程可得:a=5,c= , 則 F1(- ,0),F2( ,0),A1(-5,0),A2(5,0), 由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故 A錯誤; 設(shè)點 P的坐標為(m,n), 則 =1,即 n2=20( - ) (25-m2), 則 - , 所以 - - - =- ,故 B 正確; =(- -m,-n), =( -m,-n), 若F1PF2=90,則 =m2-5+n2=0, 又 n2= (25-m2),聯(lián)立可得 m2+15=0,方程無解,故 C錯誤; |F1F2|yP|= 2 |yP|=4 , 5 解

10、得 yP=4,代入橢圓方程可得 xP= ,故 D正確. 答案 BD 12.(2021 江蘇南通模擬)設(shè) A,B 是拋物線 y=x2上的兩點,O 是坐標原點,下列結(jié)論正確的是( ) A.若 OAOB,則|OA|OB|2 B.若 OAOB,直線 AB過定點(1,0) C.若 OAOB,點 O到直線 AB 的距離不大于 1 D.若直線 AB過拋物線的焦點 F,且|AF|= ,則|BF|=1 解析對于 A,設(shè) A(x1, ),B(x2, ). OAOB, =0, x1x2+(x1x2)2=0, x1x2(1+x1x2)=0,x2=- , |OA|OB|= ( ) =2,當且僅當 x1=1時等號成立,故

11、 A正確; 對于 B,若 OAOB,顯然直線 AB的斜率存在,設(shè)直線 AB 的方程為 y=kx+m, 聯(lián)立方程 消去 y 得 x2-kx-m=0, 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2=k,x1x2=-m, y1y2= =(x1x2)2=m2, OAOB, =0,x1x2+y1y2=0, -m+m2=0,m=0或 m=1, 易知直線 AB 不過原點,m=1, 直線 AB的方程為 y=kx+1,恒過定點(0,1),故 B錯誤; 點 O到直線 AB的距離 d= . k20,k2+11,d1,故 C 正確; 對于 D,直線 AB 過拋物線的焦點 F( ),設(shè)直線 AB的方程為 y=k

12、x+ , 聯(lián)立方程 消去 y 得 x2-kx- =0, 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)點 A 在 y 軸右側(cè), x1+x2=k,x1x2=- , |AF|=y1+ ,y1= ,x1= , x2=- =- ,y2= , 6 |BF|=y2+ =1,故 D正確. 答案 ACD 三、填空題:本題共 4小題,每小題 5分,共 20分. 13.已知橢圓 C: +y2=1,過 C上一點 P(第一象限)的直線 l與 x 軸正半軸、y 軸正半軸分別交于點 A,B.若|PA|=1,則|PB|的值為. 解析過點 P作 y軸的垂線,垂足為點 Q,如圖, 設(shè) P( cos,sin),A(a,0), |

13、PA|=1,sin2+( cos-a)2=1, 得 a=( +1)cos,或 a=( -1)cos, cos0)的離心率為 ,則 b= ,過雙曲線的右焦點 F作直線垂直于雙曲線的一條漸近線,垂足為 A,設(shè) O為坐標原點,則|OA|= . 解析因為雙曲線 =1(b0)的離心率為 , 可得 ,則 b=1, 所以雙曲線 -y2=1 的右焦點 F( ,0), 其中一條漸近線方程為 x-2y=0, 所以|AF|= =1, 所以|OA|= - =2. 7 答案 1 2 15.過點 A(2,2)作直線 AB,AC與圓 x2+(y-2)2=1 相切,且交拋物線 x2=2y 于 B,C兩點,則直線 BC 的方程

14、為 . 解析顯然直線 AB,AC 的斜率存在且不為 0,設(shè)過點 A的圓的切線的方程為 y-2=k(x-2), 即 kx-y-2k+2=0, 圓的圓心坐標為(0,2), 由直線與圓相切可得 1= ,可得 k= , 不妨設(shè)直線 AB的斜率為 ,所以直線 AB 的方程為 y-2= (x-2),設(shè) B(x1,y1),C(x2,y2),由直線 AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立消去 y,得 x2- x+ -4=0, 解得 x= -2 或 x=2,即點 B 的橫坐標 x1= -2, 同理可得 C的橫坐標為 x2=- -2,所以直線 BC 的方程為 y-y1= - - (x-x1)= - - (x-x1)= (x

15、-x1),所以 y- (x-x1), 即 y-( - ) =-2( - ), 整理可得直線 BC 的方程為 6x+3y+4=0. 答案 6x+3y+4=0 16.(2021 上海徐匯檢測)如圖,P 為橢圓 E1: =1(ab0)上的一動點,過點 P 作橢圓 E2: =(0b0), 化簡可得 b2 +a2 =a2b2, 則 - - 化簡得 = . 答案 四、解答題:本題共 6小題,共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(10分)中心在原點,焦點在 x軸上的一個橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1,F2,且|F1F2|=2 ,橢圓的半長軸與雙曲線的半實軸之差為 4,離心率之比為

16、 37,求這兩條曲線的標準方程. 解設(shè)橢圓的方程為 =1(a1b10), 雙曲線的方程為 =1(a20,b20),c= ,由已知,得 a1-a2=4, =37, 解得 a1=7,a2=3, 所以 =36, =4, 所以兩條曲線的標準方程分別為 =1, =1. 18.(12分)已知拋物線 y2=2px(p0)上的點 T(3,t)到焦點 F 的距離為 4. (1)求 t,p的值; (2)設(shè) A,B是拋物線上分別位于 x 軸兩側(cè)的兩個動點,且 =5(其中 O 為坐標原點).求證:直線 AB過定點,并求出該定點的坐標. (1)解由拋物線的定義,得 3+ =4,解得 p=2, 所以拋物線的方程為 y2=4x, 將點 T(3,t)代入,得 t2=12,解得 t=2 . (2)證明設(shè)直線 AB的方程為 x=my+n, A( ),B( ), 聯(lián)立 消去 x 得 y2-4my-4n=0, 9 則 y1+y2=4m,y1y2=-4n. 由 =5,得 +y1y2=5, 所以 y1y2=-20 或 y1y2=4(舍去), 即-4n=-20,n=5, 所以直線 AB 的方程為 x=my+5, 所以直線 AB 過