《2021_2022學年新教材高中數(shù)學第三章圓錐曲線的方程3.1.2橢圓的簡單幾何性質課后篇鞏固提升含解析新人教A版選擇性必修第一冊.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021_2022學年新教材高中數(shù)學第三章圓錐曲線的方程3.1.2橢圓的簡單幾何性質課后篇鞏固提升含解析新人教A版選擇性必修第一冊.docx（7頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、3.1.2橢圓的簡單幾何性質課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.已知橢圓的方程為2x2+3y2=m(m0),則橢圓的離心率為()A.13B.33C.22D.12解析因為2x2+3y2=m(m0),所以x2m2+y2m3=1.所以c2=m2-m3=m6.故e2=13,解得e=33.答案B2.焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的標準方程為()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1解析由題意得c=25,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故橢圓方程為x236+y216=

2、1.答案A3.阿基米德(公元前287年公元前212年)不僅是著名的物理學家、數(shù)學家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的焦點在x軸上,且橢圓C的離心率為74,面積為12,則橢圓C的方程為()A.x23+y24=1B.x29+y216=1C.x24+y23=1D.x216+y29=1解析由題意可得ab=12,ca=74,a2=b2+c2,解得a=4,b=3,因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓方程為x216+y29=1.答案D4.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.23D

3、.14解析不妨設橢圓方程為x2a2+y2b2=1,則可設直線l:xc+yb=1,依題意,有11c2+1b2=b2,即4=b21c2+1b2,b2c2=3,a2-c2c2=3,e=ca=12.答案B5.設橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右頂點分別為A,B,P是橢圓上不同于A,B的一點,設直線AP,BP的斜率分別為m,n,則當-1mn-4ab+5取得最小值時,橢圓C的離心率為()A.15B.22C.45D.32解析設P(x0,y0),則x02a2+y02b2=1(x0a),即y02x02-a2=-b2a2(x0a).又A(-a,0),B(a,0),所以mn=y0x0+ay0x0-a=

4、y02x02-a2=-b2a2.則-1mn-4ab+5=a2b2-4ab+5.設ab=x(x1),則f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,當x=2時,f(x)取得最小值1.此時ab=2,即ba=12,所以橢圓C的離心率e=ca=1-(ba)2=32.答案D6.某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點A距地面m km,遠地點B距離地面n km,地球半徑為k km,則飛船運行軌道的短軸長為()A.2(m+k)(n+k) kmB.(m+k)(n+k) kmC.mn kmD.2mn km解析由題意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),即

5、a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k)(n+k).所以橢圓的短軸長為2(m+k)(n+k)km.答案A7.(多選題)已知橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=12,則k的值可能是()A.-4B.4C.-54D.54解析當焦點在x軸上,即當k+89,即k1時,由橢圓的標準方程得a=k+8,b=3,則c=a2-b2=k-1,所以橢圓的離心率e=ca=k-1k+8=12,解得k=4.當焦點在y軸上,即當0k+89,即-8k1時,由橢圓的標準方程得b=k+8,a=3,則c=a2-b2=1-k,所以橢圓的離心率e=ca=1-k3=12,解得k=-54.答案BC8.已知橢圓的短半軸長為

6、1,離心率00,所以a21,故1a2,長軸長2b0)的兩焦點與短軸的一個頂點恰組成一個正三角形的三頂點,且橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為3,則橢圓C的方程為.解析因為橢圓的兩焦點與短軸的一個頂點恰組成一個正三角形的三頂點,所以有tan60=bc,即b=3c.又因為橢圓C上的點到橢圓的焦點的最短距離為3,所以有a-c=3,而a2=b2+c2,三個等式聯(lián)立得b=3c,a-c=3,a2=b2+c2,解得a=23,b=3,所以橢圓的標準方程為x212+y29=1.答案x212+y29=110.已知橢圓x24+y23=1,在該橢圓上是否存在點M,使得點M到橢圓的右焦點F和到直線x=4的距離相等?若

7、存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.解不存在.理由如下,由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假設在橢圓上存在點M,使得點M到橢圓的右焦點F和到直線x=4的距離相等,設M(x,y)(-2x2),則(x-1)2+y2=|x-4|,兩邊平方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因為-2x2,所以符合條件的點M不存在.關鍵能力提升練11.已知橢圓的長軸長為20,短軸長為16,則橢圓上的點到橢圓中心距離的取值范圍是()A.6,10B.6,8C.8,10D.16,20解析不妨設橢圓的焦點在x

8、軸上,由題意知a=10,b=8,設橢圓上的點M(x0,y0),由橢圓的范圍知,|x0|a=10,|y0|b=8,點M到橢圓中心的距離d=x02+y02.又因為x02100+y0264=1,所以y02=641-x02100=64-1625x02,則d=x02+64-1625x02=925x02+64.因為0x02100,所以64925x02+64100,所以8d10.答案C12.已知點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上,點M(a,b)為平面上一點,O為坐標原點,則當|OM|取最小值時,橢圓的離心率為()A.33B.12C.22D.32解析點P(2,1)在橢圓x2a2+y2b2=

9、1(ab0)上,可得4a2+1b2=1,M(a,b)為平面上一點,O為坐標原點,則|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b25+24b2a2a2b2=3,當且僅當a2=2b2時,等號成立.此時由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故選C.答案C13.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率e=12,右焦點為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個實根為x1,x2,則點P(x1,x2)()A.必在圓x2+y2=2內(nèi)B.必在圓x2+y2=2上C.必在圓x2+y2=2外D.以上三種情況都有可能解析由已知x

10、1+x2=-ba,x1x2=-ca,從而x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2+2aca2=a2-c2+2aca2=1-e2-2e=1-14+1=74b0)的兩焦點為F1,F2,若橢圓上存在點P,使F1PF2=120,則橢圓的離心率e可以是()A.22B.32C.34D.78解析當P是橢圓的上下頂點時,F1PF2最大,120F1PF2180,60F1PO90,sin60sinF1POsin90,|F1P|=a,|F1O|=c,32cab0)的兩個焦點,P為橢圓上一點,且PF1PF2=c2,求橢圓離心率的取值范圍.解設P(x0,y0),則PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-

11、x0,-y0),所以PF1PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=x02-c2+y02.因為P(x0,y0)在橢圓上,所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以PF1PF2=x02-c2+b21-x02a2=c2,解得x02=(3c2-a2)a2c2.因為x0-a,a,所以x020,a2,即0(3c2-a2)a2c2a2,所以2c2a23c2.即13c2a212,所以33ca22,即橢圓離心率的取值范圍是33,22.學科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上有一點P,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,橢圓內(nèi)一點Q在線段PF2的延長線上,且QF

12、1QP,sin F1PQ=513,則該橢圓離心率的取值范圍是()A.2626,1B.15,53C.15,22D.2626,22解析QF1QP,點Q在以F1F2為直徑,原點為圓心的圓上,點Q在橢圓的內(nèi)部,以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi),cb.c2a2-c2,e212,故0e22.sinF1PQ=513,cosF1PQ=1213.設|PF1|=m,|PF2|=n,則|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn1213.4c2=(m+n)2-2mn-2mn1213,即4c2=4a2-5013mn,mn=2625(a2-c2).由基本不等式得mnm+n22=a2,當且僅當m=n時,等號成立.由題意知QF1QP,mn,mnm+n22=a2,2625(a2-c2)a2,a2126,e2626,綜上可得2626e22.答案D7