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1、三 問(wèn)題的解決3.1 矩陣法1. 求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式令是兩個(gè)多項(xiàng)式，不妨設(shè)，用去除有，即.設(shè)可知是可逆陣，再用去除有，即.設(shè)，則也是可逆陣，依次做下去，由于在絕對(duì)遞減，必有某時(shí)有或.不妨設(shè)，則.，其中是可逆陣.設(shè)的第一列為，則有. 又由于，于是均可由表示，即是的公因式.綜合得是的最大公因式.例2 求與的最大公因式，并求使的解 作除法，即再作除法，即 再作除法，即 則 且由于在第2列，所以的第2列即是.，使.注：通常要求為首一多項(xiàng)式，這只需將上述的除以的首項(xiàng)系數(shù)即可.2. 求3個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式是3個(gè)多項(xiàng)式，用去除，有,即 .不妨設(shè)，再用去除和，有，即.繼續(xù)作下去，由于絕對(duì)遞減，必有某時(shí)

2、中有一個(gè)不為零，其余全為零.不妨設(shè)，則有，記，則有.設(shè)的第一列為則.又，即均可由表示，即是的公因式.故是最大公因式.例3 求的最大公因式，并求使.解 最小，用去除，有即最小，再作除法，即 是最大公因式.取，有.3. 求個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式是個(gè)多項(xiàng)式，用去除有即設(shè)（必是可逆陣） 不妨設(shè)，再用去除有即設(shè)（必是可逆陣）.繼續(xù)下去，由于絕對(duì)遞減，必有某時(shí)中只有一個(gè)不為零其余全為零.不妨設(shè)，則.設(shè)是可逆陣，設(shè)的第一列為，有，且均可由表示，即是的公因式.故是最大公因式.3.2 矩陣的初等行（列）變換法在這里我們以初等列變換法為例（初等行變換法原理一樣）定理2 設(shè)則定理3 把中任意個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成矩陣形式，存在

3、階方陣，使得其中，是的最大公因式.證明 對(duì)于存在最大公因式：且存在使得： 令于是有，對(duì)于存在最大公因式且存在使得： 令： .于是有如此繼續(xù)下去，將得到 又由定理2可知：故 這里只要令 定理得證. 證畢定理4 對(duì)于定理2中的，可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積形式.證明 不妨對(duì)進(jìn)行證明這個(gè)初等變換的過(guò)程可以寫(xiě)成： 即：對(duì)于其它都可以表示成初等矩陣的乘積形式，所以可以表示成初等矩陣的乘積形式.注：分別表示矩陣的三種初等變換； 是形式表達(dá)式并不會(huì)出現(xiàn)的倒數(shù)形式.定理5 設(shè)是上的非零陣，是階單位矩陣，為定理2中的，則矩陣，經(jīng)過(guò)一系列初等列變換可化為，而的第一列元素就是，使得 成立.證明 是上的非零陣， 由

4、定理3知，存在上的階可逆陣，使得，于是在的右邊乘上，則有，且的第一列元素就是，使得：成立. 證畢例4 對(duì)于整系數(shù)多項(xiàng)式 求它們的最大公因式；且求：使得成立.解 令 對(duì)其進(jìn)行如下的的行初等變換： 其中， 經(jīng)驗(yàn)證 成立.注：進(jìn)行初等變換的目的是要把的第一行變成形式，在作初等列變換過(guò)程中，系數(shù)保持是整數(shù)，在這個(gè)原則下可以隨意地作初等列變換，得到的是唯一的.但由于作法不同，得到的的第一列元素可能不同，故線性表示不唯一，但都能使成立.3.3 數(shù)值矩陣法我們?cè)谇懊娼榻B了矩陣的初等變換法，其實(shí)質(zhì)是利用多項(xiàng)式矩陣的初等行（列）變換求多項(xiàng)式矩陣的一階行列式因子，并且，在求解的過(guò)程中，仍然是多項(xiàng)式的運(yùn)算，有一定的

5、難度.下面我們利用多項(xiàng)式的某些性質(zhì)建立一種利用數(shù)值矩陣的行初等變換求解多個(gè)多項(xiàng)式最大公因式的方法矩陣數(shù)值法.該方法擺脫了求解過(guò)程中的多項(xiàng)式運(yùn)算，而單純運(yùn)用數(shù)值矩陣的初等行變換，直觀明了，簡(jiǎn)單易行.設(shè)一元次多項(xiàng)式其性質(zhì)由其系數(shù)唯一決定.即它和由其系數(shù)所形成的行矩陣一一對(duì)應(yīng).對(duì)于個(gè)一元多項(xiàng)式 若中至少有一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是次，在不計(jì)次序的情況下，它與其系數(shù)所形成的矩陣也是一一對(duì)應(yīng)的.其系數(shù)矩陣為 而最大公因式與次序無(wú)關(guān)，所以的最大公因式由唯一決定.定理6 若則由定理6：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.又有.所以對(duì)實(shí)施初等行變換后，其所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式組與有相同的最大公因式.定理7 設(shè)均不為零，則當(dāng)，有；

6、當(dāng)，有；當(dāng)時(shí)，有.證明 當(dāng)時(shí)，令，其中而 ，則有 因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，此時(shí)，有，因?yàn)椋凶C畢也就是說(shuō)，對(duì)于中的任意兩行，分別時(shí)所在行中列數(shù)最大的非零元素，分別是所在行中列數(shù)最小的非零元素.有如下結(jié)論：若，不妨假設(shè)，則第行的非零元素向右平移個(gè)列（下面將該過(guò)程簡(jiǎn)稱右對(duì)齊）后，其所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式組與有相同的最大公因式；若，而時(shí)，則第行的非零元素向左平移個(gè)列（下面將該過(guò)程簡(jiǎn)稱左對(duì)齊）后，其所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式組與有相同的最大公因式.另外，由，可知去掉中的所有元素都為0的行后其所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式組與有相同的最大公因式；若出現(xiàn)行，則的最大公因式為1. 定理8 利用以上性質(zhì)一定能將變成型矩陣.該矩陣對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式即為的最大公因

7、式.利用以上結(jié)論，就可以利用矩陣的初等行變換求出一元多項(xiàng)式組的最大公因式，其一般步驟為： 將系數(shù)矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q化為階梯矩陣. 考察矩陣，若出現(xiàn)元素都是0的行，則去掉該行；若某行變?yōu)闀r(shí)，多項(xiàng)式的最大公因式為1，計(jì)算終止；若出現(xiàn)每一行的列數(shù)最大的非零元素不在同一列時(shí)，則施行右對(duì)齊；若每一行的列數(shù)最大的非零元素在同一列時(shí)，則施行左對(duì)齊；將變成非階梯矩陣，然后，以非零元素最少的行將其再化成階梯矩陣. 反復(fù)循環(huán)上述步驟，直到變?yōu)樾途仃嚕瑒t對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式即是的最大公因式.例5 設(shè) 求的最大公因式.解 系數(shù)矩陣所以，最大公因式為.四 問(wèn)題的總結(jié)我們已經(jīng)對(duì)求解多項(xiàng)式的最大公因式的問(wèn)題給出了5種可行方法，各方

8、法各有優(yōu)缺點(diǎn)，現(xiàn)我們總結(jié)如下：方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)因式分解法直觀，原理簡(jiǎn)單易懂.沒(méi)有廣泛適用性，分解過(guò)程往往比較難且某些多項(xiàng)式不能因式分解.輾轉(zhuǎn)相除法具有可操作性，較因式分解法適用范圍更廣，可有具體的格式進(jìn)行操作.當(dāng)已知的多項(xiàng)式次數(shù)較高時(shí)，輾轉(zhuǎn)相除次數(shù)較多顯得十分麻煩；在求時(shí)，輾轉(zhuǎn)相除的過(guò)程不能用一個(gè)非零的常數(shù)去乘除式和被除式，運(yùn)算困難.矩陣法結(jié)合多項(xiàng)式最大公因式的定義與矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，不緊可以求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式還可以求得多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式并同時(shí)求得關(guān)于的線性組合.雖采用的是矩陣形式，但仍需要兩兩多項(xiàng)式作除法，隨著多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)增加計(jì)算量大大增加，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜.矩陣的初等行（列）變換法直接

9、構(gòu)造矩陣，利用多項(xiàng)式矩陣的初等變換一舉求得最大公因式及其線性表達(dá)式，具有較廣的使用范圍且運(yùn)算過(guò)程較靈活，避免了多項(xiàng)式之間繁瑣的除法運(yùn)算.由于構(gòu)造的是多項(xiàng)式矩陣，故在運(yùn)算過(guò)程中仍是多項(xiàng)式的運(yùn)算，有一定的難度.數(shù)值矩陣法根據(jù)多項(xiàng)式與其系數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造多項(xiàng)式組的系數(shù)矩陣，再由多項(xiàng)式最大公因式的性質(zhì)導(dǎo)出一種單純運(yùn)用數(shù)字矩陣（系數(shù)矩陣）的初等變換求得最大公因式的方法，直觀明了，簡(jiǎn)單易行.不能像矩陣法和矩陣的初等行（列）變換法可以求得最大公因式的同時(shí)求得最大公因式的線性表達(dá)式.因此，我們可以依照以上的對(duì)比結(jié)果根據(jù)多項(xiàng)式的表達(dá)式特征、多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)以及是否需要得到最大公因式的線性表達(dá)等情況的不同靈活

10、選擇不同的方法來(lái)求最大公因式.參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等代數(shù)（第三版）.北京：高等教育出版社.2 蔡若松. 求幾個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式. 錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 1998.3.3 陳輝，陳凌云. 多項(xiàng)式最大公因式的一種求法. 杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2000.06.4 劉國(guó)琪. 多項(xiàng)式的最大公因式的一種新求法. 河北電力職工大學(xué)，工科數(shù)學(xué), 1997.04.5 T.W.Hungerford. 馮克勤譯. 代數(shù)學(xué)M. 長(zhǎng)沙:湖南教育出版社, 1984.6 李正彪, 李祥. 求多項(xiàng)式最大公因式的一種新方法. 曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2004.11.7 Nathan Jacobson.Basic AlgebralM.San.Francisco:W.H.Freeman and company, 1980.13