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1、向量積維基百科,自由的百科全書叉乘是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。與點(diǎn)乘不同,它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)偽向量而不是個(gè)標(biāo)量。叉乘的運(yùn)算結(jié)果叫叉積(即交叉乘積)、外積或向量積。叉積與原來的兩個(gè)向量都垂直目錄2性質(zhì)21幾何意義22代數(shù)性質(zhì)2.3拉格朗日公式24矩陣形式3高維情形4應(yīng)用5參見定義兩個(gè)向量d和b的叉積寫作b(有時(shí)也被寫成b,避免和字母x混淆)。叉積可以定義為db= al b sin6niab在這里表示d和b之間的角度(0ses180),它位于這兩矢量所定義的平面上。而n是一個(gè)與d、b所構(gòu)成的平面垂直的單位矢量這個(gè)定義有個(gè)問題,就是同時(shí)有兩個(gè)單位向量都垂直于d和b:若元滿足垂直的條件,那么一元

2、也滿足baa正確”的向量由向量空間的方向確定,即按照給定直角坐標(biāo)=-axb系(,)的左右手定則。若G,)滿足右手定則,則b,db)也滿足右手定則;或者兩者同時(shí)滿足左手定則。個(gè)簡單的確定滿足“右手定則”的結(jié)果向量的方向的方法是這樣的:若坐標(biāo)系是滿足右手定則的,己=db當(dāng)右手的在右手坐標(biāo)系中的向量積四指從以不超過180度的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向b時(shí),豎起的大拇指指向是己的方向。由于向量的叉積由坐標(biāo)系確定,所以其結(jié)果被稱為偽向量性質(zhì)幾何意義叉積的模(長度)b可以解釋成以和石為邊的平行四邊形的面積。進(jìn)一步就是說,混合積可以得到以,b,c為邊的平行六面體的體積代數(shù)性質(zhì)反交換律db加法的分配律axb+c)=axb+ax

3、c與標(biāo)量乘法兼容()b=dx(b)=b)不滿足結(jié)合律,但滿足雅可比 Jacob)恒等式dX(C)+bX(a+己x(b)=0分配律,線性性和雅可比恒等式別表明:具有向量加法和叉積的R3構(gòu)成了一個(gè)李代數(shù)兩個(gè)非零向量a和b平行,當(dāng)且僅當(dāng)db=0格朗日公式這是一個(gè)著名的公式,而且非常有用axb xc)=b ac)-c(ab可以簡單地記成BAC-CAB”。這個(gè)公式在物理上簡化向量運(yùn)算非常有效。需要注意的是,這公式對(duì)微分算子不成立。這里給出一個(gè)和梯度相關(guān)的一個(gè)情形V(VV(Vf-(V.V)fgrad(div f)-laplacian f這是一個(gè)霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解=d0+的特殊情形另一個(gè)有用的拉格朗

4、日恒等式是a xb+a- b=a bl這是一個(gè)在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法v=|vl特殊情形矩陣形式給定直角坐標(biāo)系的單位向量,j,k滿足下列等式=k、了k=、k=了通過這些規(guī)則,兩個(gè)向量的叉積的坐標(biāo)可以方便地計(jì)算出來,不需要考慮任何角度:設(shè)a=ali+a2j+ask=a1, a2, a3lb=bii+b2j+ b3k=b1, b2, b3I則axb=a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式d6= det at a2a3b, b2 b3叉積也可以用四元數(shù)來表示。注意到上述z,j,k之間的又積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言,若將向量a1,a2,a3表示成

5、四元數(shù)a1i+a2+a3k,兩個(gè)向量的叉積可以這樣計(jì)算:計(jì)算兩個(gè)四元數(shù)的乘積得到一個(gè)四元數(shù),并將這個(gè)四元數(shù)的實(shí)部去掉,即為結(jié)果。更多關(guān)于四元數(shù)乘法,向量運(yùn)算及其幾何意義請(qǐng)參見四元數(shù)與空間旋轉(zhuǎn)。高維情形七維向量的叉積可以通過八元數(shù)得到,與上述的四元數(shù)方法相同。七維叉積具有與三維叉積相似的性質(zhì)雙線性性了(ay+b2)=ay+bxz(ay+b2)=a+bz反交換律了y+y=0同時(shí)與和了垂直(xy)=y(xy)=0拉格朗日恒等式區(qū)x了2=回P-(:y2不同于三維情形,它并不滿足雅可比恒等式x(y x2)+yx(zx)+zx(xy)#0應(yīng)用另外,在物理學(xué)力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等理工學(xué)科中,叉積應(yīng)用十分廣泛。例如力矩、角動(dòng)量、洛倫茲力等矢量都可以由向量的叉積求解。在進(jìn)行這些物理量的計(jì)算時(shí),往往可以借助右手定則輔助判斷方向參見數(shù)量積右手定外代數(shù):叉乘的實(shí)質(zhì),贗矢量與贗標(biāo)量取自htp:/ h wikipedia. org/w/index. php?te=向量積維基是維基媒體基金會(huì)的商標(biāo)維基媒體基金會(huì)是在美國佛羅里達(dá)州登記的501(c)(3)免稅、非營利、慈善機(jī)構(gòu)