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1、作業(yè)：,1、真空中靜電場的高斯定理是,證明電場強度的,散度滿足：,2、求,其中,S是球面，且,積分沿s的外側進行。,1.6 哈密頓算符的應用,前面提到的梯度、散度、旋度等概念中都有一個哈密頓算符與它們相隨，且算符在直角坐標系中的表示是：,顯然，哈密頓算符的性質具有雙重性：矢量性、微分性。,因此，對哈密頓算符應用時既要注意它的矢量性，也要注意它的微分性。作為微分性，它與微分方程中的微分算符用法一致；作為矢量性，它必須滿足矢量運算規(guī)則，但又不同于一般矢量，它不,一、哈密頓算符的性質,能和普通的矢量任意對換位置。例如：,二、哈密頓算符的運算,1、對線性式的應用,設,是n 個可微的標量場，,是,n個可

2、微的矢量場，,是n個任意常數(shù)。則,顯然，算符能按照“分配律”對線性式起作用，所以哈密頓算符是線性的。,2、哈密頓算符的自乘和重法復使用,* “ ”的自乘（標積）,新算符，稱為拉普拉斯算符。用 表示。,“ ”可作用到標量場和矢量場 .,* “ ”的重復使用,其中,在矢量運算中曾有下列公式：,為任意標量， 為任意矢量,為任意矢量,將以上各式中的 換成 ，則有,3、“ ”對乘積的作用,設和是兩個可微的標量場， 是兩個可微的矢量場，于是就得到四種不同的乘積： 對于標量場，“ ”只有求梯度的作用；對于矢量場，“ ”可有兩種作用方式，即散度、旋度。因此，四種乘積可以得到七個公式,（7）,(1),(2),(

3、3),(4),(5),(6),若用一般方法證明以上的公式是很復雜的，但用算符的性質來證明就比較簡單。例如：,例1。證明,證明一： （一般法）,證明二： （算符法）,說明：算符是一矢量，它與相乘的積應是一矢量，同時又時一個微分算符，它要分別作用到,上去。當作用到一個場量時，另一個場量保持不變； 作用到場量時，場量保持不變。有腳標的量是在微分過程中保持不變的量。,例二。證明,證明一： （一般法）,證畢,證明二：先考慮的微分性有,考慮的矢量性,（1）,（2）,（1）式中的每一項滿足（2）式的運算，對（1）式中右邊兩項進行換算，和（2）比較,則,利用,有,再利用,有,因為,不成立， 的后面必須,有物理量，因此 應該寫為 故,（3）,（4）,把（3）、（4）代入（1）有,證畢,