《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法(李政道).pdf》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法(李政道).pdf（309頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、目錄第一章矢量與張量分析1矢量代數(shù)2張量代數(shù)3二階張量的幾何表示法4張量場(chǎng)5高斯奧斯特洛格拉德斯基定理及其應(yīng)用6斯托克斯定理及其應(yīng)用7亥姆霍茲定理。麥克斯韋方程8曲線坐標(biāo)系中的基本微分運(yùn)算第二章n維空間中的線性代數(shù)1線性空間2矩陣及其運(yùn)算3線性算子4坐標(biāo)變換5數(shù)量積和正交性6酉變換與正交變換7狹義相對(duì)論8埃爾米特算子102第三章按正交函數(shù)系展開(kāi)1希爾伯特空間1072函數(shù)系的完備性3完備正交系的例子。富里埃級(jí)數(shù)1194富里埃積分1295埃爾米特算子6勒讓德多項(xiàng)式7多極展開(kāi)式1488球諧函數(shù)1549坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)球諧函數(shù)的變換16610球諧函數(shù)與張量之間的類比16811球諧函數(shù)的性質(zhì)。續(xù)12動(dòng)量矩算

2、子分量的排列關(guān)系17313球諧函數(shù)與勒讓德多項(xiàng)式之間的聯(lián)系178814加法定理18015球諧函數(shù)的應(yīng)用第四章變分原理與極值定理1泛函變分與泛函導(dǎo)數(shù)1882泛函(q)的極值性質(zhì)3極值定理4正算子202第五章格林函方法1方程例子,格林函數(shù)的定義2線性算子。線性算子性質(zhì)的矩陣表示2113擴(kuò)散方程的格林函數(shù)4波動(dòng)方程的格林函數(shù)5泊松方程2306非齊次波動(dòng)方程233第六章復(fù)變函論方法1解析函數(shù)。柯西定理2422泰勒和羅朗級(jí)數(shù)解析開(kāi)拓2493奇點(diǎn)分類2524多值函數(shù)流體力學(xué)中的例子5留數(shù)定理及其應(yīng)用2626隨機(jī)游動(dòng)問(wèn)題與鞍點(diǎn)法268第七章線性微分方程1在正常點(diǎn)附近方程的解2在正則奇點(diǎn)附近方程的解2883貝

3、塞耳方程第一章矢量與張量分析1矢量代數(shù)設(shè)(x1,x2,x8)為三維空間中的點(diǎn)P在右旋笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(圖1)。這些坐標(biāo)唯一地確x2z定了點(diǎn)P在空間中的位置:P(x1,x,x:)P設(shè)(為同一個(gè)點(diǎn)在另個(gè)右旋笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。則該點(diǎn)在兩個(gè)不同的坐圖1。標(biāo)系中的坐標(biāo)由下式聯(lián)系x1=u1x1+12x2+13x3x2=221x1+422x2+a2x3(1.1)式(1.1)可更緊湊地寫成U:i x顯然,此時(shí)數(shù)u;需服從下面的關(guān)系式:1若j=k,(1.1a)若jk,;稱為克羅內(nèi)克( Kronecker)符號(hào)于是,;+u21+u111+t21l22+u3132=0,等等。由三個(gè)數(shù)組成的有序集合(A1,A

4、2,A3),在軸的旋轉(zhuǎn)下能作象上述的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x1,x2,x3)一樣的變換,即(A1,A2,A3)(A1,A2,A3)則(A1,A2,A3)就叫做三維矢量,這里而u1;為(x1,x2,x3)變到(x1,x2,x)時(shí)由(11)所確定的系數(shù)。今考慮幾個(gè)矢量的例子?？臻g中的點(diǎn)P(x1,x2,x3)可與具有同樣坐標(biāo)的矢量T相對(duì)應(yīng),這個(gè)矢量常稱為P點(diǎn)的徑矢。如果矢量依賴于某個(gè)變量扌,則我們可構(gòu)成(dx:/dt,dx2/dt,dxs/dt),容易驗(yàn)證,它也是矢量。這個(gè)失量常記為=drdt。類似地,可構(gòu)造矢量a=daf。一般地,如有某個(gè)坐標(biāo)依賴于參數(shù)的矢量,則通過(guò)對(duì)原先的矢量按坐標(biāo)微商可構(gòu)造一新的矢量。用

5、這種方法得到的矢量,就稱為所給矢量的導(dǎo)數(shù)。兩個(gè)矢量A和B,只要在同一個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)完全相同,就認(rèn)為是相等的。顯然,如果兩個(gè)矢量在某一個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)完全相同,那么它們?cè)诹硗馊我庖粋€(gè)系中也完全相同。矢量A+B=(A1+B1,A2+B2,A3+B3)稱為兩矢量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)的和。容易檢驗(yàn),用這種方法得到的量確是一矢量,且A+B=B+A例1矢量相等的幾何解釋。設(shè)A為某個(gè)矢量,而P,To分別為點(diǎn)P和Q的徑矢。選取這樣一些點(diǎn),使得1=x1P-x10, A2=x2P-x20, A =x3p-x307于是A(圖3)。由此,任一矢量都可對(duì)應(yīng)于某個(gè)線段換句話說(shuō),所有矢量

6、在空間中都有方向和大小這種特性。Q了圖3數(shù)ABA B稱為兩矢量A和B的數(shù)量積AB。數(shù)量積是關(guān)于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的不變量。事實(shí)上,利用公式(1.1)得2A:B;=u,A,4;B4a B8;A,B=A,B在坐標(biāo)系作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不變的量,叫做標(biāo)量。于是AB是標(biāo)量。顯然,AA=A。數(shù)(AA)2稱為矢量A的模(或長(zhǎng)度),并記之為|A。特別是,如果A=T,則A=|y|=x2+x2+x今選取坐標(biāo)系,使得軸x1順著矢量A的方向,而矢量B則在平面x1x2內(nèi)(圖4),于是A=(A,0,0)B=(B cos 8, B sin 0, 0)AB=|A|BB這里6是矢量A和B之間的夾角。因AB是標(biāo)量,故這個(gè)等式在任意坐標(biāo)系中都仍適合

7、。特別地,如果AB=0圖4且A和B都不為零,則矢量A和B垂直例2能量守恒。由牛頓第二定律duF=madt s(1.3)這里m為物體質(zhì)量,F為作用于該物體上的力,U為速度。在等式(1.3)兩邊點(diǎn)乘U,則得dmv2ma(2即F。2這里v為矢量”的模。特別,如果F=0,則d/ mu2dt 2即= const。這是能量守恒定律的一種形式。定理1.1假定有一個(gè)法則,使在每一坐標(biāo)系中都能給出三個(gè)數(shù)(A1,A2,A3),如果此法則對(duì)所有矢量B=(B1,B2,Bs),都能使量AB;為標(biāo)量,則量A=(A1,A2,A3)為矢量。證明在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下,矢量B的坐標(biāo)按公式(1.2)變成B;(i=1,2,3)。設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

8、,(A1,A2,A3)變成(A1,A2,l)。我們需證但由假設(shè)A,B;=AB;所以A,B,=Au1;B,因矢量B是任意給定的,故A1(j=1,2,3)將(1.4)乘以u(píng)1;且對(duì)j求和,考慮到(1.2),就得AA8;4k=A;(i=1,2,3)這就是所要證明的?，F(xiàn)考慮某個(gè)直角坐標(biāo)系。設(shè)讠=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)為此坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量。則E=jj=kk=1j=jk=k0這些關(guān)系顯示了單位矢量之間是相互垂直的。在這個(gè)坐標(biāo)系中,矢量A=(A1,A2,A3)可表示為A=A,i+A2i+Ask將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。原坐標(biāo)系中的單位矢量在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為13:(1222假定=(

9、1,0,0),=(0,1,0),K=(0,0,1)是新坐標(biāo)系(x1,x2,x3)中的單位矢量。則由(1.2)和(1.5式j(luò)c+u221+u32 k(1.6)k顯然讠=1,ij=0等等。因此L=u21+t2;+11第1+t2t2+u我們又得到了(1.1),并順便說(shuō)明了它們的起源。注意,由前面的結(jié)論從(14)式可推出,新坐標(biāo)系中的單位矢量可用下面的方式由原坐標(biāo)系中的單位矢量表出2+u12j+u13k,j=u21i+u23+u23k(1.7)+usj+u33k有兩個(gè)矢量A和B,若置AX B=(A2B3-A3B2, A3B1-A,BA1B2-A2B1)則可構(gòu)造第三個(gè)矢量。下面將驗(yàn)證,AB確是矢量。為此

10、,利用定理1.1。即要證明,對(duì)所有矢量C,(AB)C是標(biāo)量。容易驗(yàn)證,aA,A(AxB)C=B1B2.B(1,8)cC, C位于(18)式右邊的行列式,等于由矢量A,B和C所構(gòu)成的平行六面體的體積。顯然,體積關(guān)于旋轉(zhuǎn)是不變的。而這對(duì)任一矢量C都是正確的,故由定理(1.1)知,AB確實(shí)是矢量。這個(gè)矢量稱為矢量A和B的矢量積?，F(xiàn)在來(lái)確定矢量AB的方向和大小。為此目的,我們選取坐標(biāo)軸,使得矢量A順著的方向,而矢量B位于圖5。平面內(nèi)(圖5)。于是在此坐標(biāo)系內(nèi)A=(A,0,0)B=(B cos 0, B sin 0AxB=(0,0,| Al| sin 0)6=文(A,B)=A和B之間的夾角。因此AB|=|A|Bl|sinl矢量A和B與矢量AXB垂直。矢量A,B和AB構(gòu)成右旋三矢量。易知,如果矢量A與B平行,則AxB=0而8