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1、測不準 關系(上) 張安邦(楊州師范學院物理系) 侯彩云(哈爾濱科技大學技物系) 畬謹言(北京大學物理系) 一 、測不準關系的引出 大家知道，玻恩(MBorn)對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，實質(zhì)上是將物質(zhì)的粒子波動兩 重性統(tǒng)一到“幾率波”的概念上。在達概念中，經(jīng)典波動的概念只是部分地被保留下來(主 要是波的相干疊加性)，而一部分概念則被拋棄。例如，幾率波并不是什么實在的物理量在 三維空間中的波動，而一般說來是多維位形空間中的幾率波。此外，它與經(jīng)典波的突出差別 之一在于 與D ( 為常數(shù))描述的是粒子的同一個狀態(tài)，而對經(jīng)典波，兩者則代表不同 酌波動狀態(tài)。正是由于達個差別，幾率渡有“歸一化”的概念，而經(jīng)典波

2、則根本談不上什么 “歸一化。 同樣，經(jīng)典粒子的概念也只是部分地被保留丁下來(主要指“原子性”(atomicity)或 顆粒性”(corPuscularity)以及力學量之間某些關系)，而一部分概念則被拋棄。因此， 經(jīng)典粒子運動的概念對于微觀世界不可能完全適用，例如，軌道的概念，即粒子的運動狀態(tài) 用每時刻粒子的位匿r(t)和動量p(t)來描進的概念等。試問，由于粒子波動兩重性的 存在，經(jīng)典粒子的概念對于微觀世界究竟能在多大程度上適用?測不準關系對此作了最集中 和最形象的概括。 測不準關系是海森伯(WHeisenberg)首先提出的，他根據(jù)一些假想實驗的分析以及 德布羅意(Lde Broglie)

3、關系式得出的。后來玻恩根據(jù)波麗數(shù)的統(tǒng)計詮釋加以嚴格證明， 并使它的表述和含義更為確切。下面我們先從分析幾個簡單的例子入手，根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計 詮釋來引出測不準關系，然后再給予嚴格證明。并對容易引起誤解的一些問題進行討論。 例1 假設一維運動粒子具有確定的動量p。，即動量的不確定度p=0。相應的波函 數(shù)為平面波 妒p。( )e 0 ， 所以I p。( )l =1，即粒子在空間各點的相對幾率完全相同。換言之，粒子的位置完全不確 定。因此 =。 這是1980年冬全國部分高等院校第二次量子力學討論會上舉辦的講座。對象是部分高校的量子力學教師，目的是 就量子力學教學中一些比較難講的問題作一些分析，希望對量

4、子力學基本概念和原理的講述既比較確切叉匕較有利于學生 掌握。本題是曾謹言講述的題目之一。由張安邦與侯彩云記錄整理，后來又由他們作了一些補充、修改，并寫成本文o 1 例2 假設粒子具有確定的位鼴x。，即位蓮不確定 x=O。相應的渡函數(shù)為 妒 。( )=6(x-Xo)， 其傅氏展 系數(shù)為 (p)=( 一j 一 元 e一 ， l (p)l =(2：rh) 達說明測得粒：fJ的動慢取鋅 的相對幾率完全相同，即粒子的動量完全不確定。所以p 例5考慮有限長波列圖1(a) ， eH o ，l 1a e L J 廠 廠。 。、 一 0 +。j i妒(k)l f 1 | t _、 一_， 、 ，8 u ，a k

5、 霎 冀嘉 篙 篡 罷 雩 霎磊 茹 蘭 慢 主 翟 莖 磊 藿 要 篙 粒 嘉 拿妻 蓋 墨簍爰言 生 軍 莖 冀東 鋈 磊 薯墨 竺 季 ， 子運動的概念的人是很難接受的，但它卻是物質(zhì)的波動一糨寸 網(wǎng)曳1 H0 緬術。 2 、 W 。 H eisenberg, eit, ， P b y sik 4 4 。； 2 6 Theory(1930)eisenberg Th e t h ioal i W H ， P r f 吖 “m 于 la=1 0510-z 爾格秒 (4) 是一個非常小的量，測不準關系并不與我們?nèi)粘Ｉ钪械臏y量矛盾，而只是指明了經(jīng)典物理 學中粒子的概念的適用范圍。例如對于一粒塵土

6、，假設共直徑10 厘米，質(zhì)量仇=10叫 克，速度U-01厘米秒，則動量p=mU-10 ?？死迕酌?。設位遙測量準確度Ax= 00001微米=1埃，按測不準關系 phAx10-z710-8=10叫?？死迕酌?因此，App10，而任何對達種粒子實際的動量測量的相對精確度都沒有達到1O一。因 此宏觀測量遠溲有達到測不準關系所指出的限度，所以對于宏觀的粒子(即使象微塵那樣的 粒子)，經(jīng)典力學中粒子的概念是適用的。但到了原子世界，情況就不同了。例如對于氫原 子中的電子，按照玻爾(NBohr)的量子淪，假設電子作網(wǎng)軌道運動，牛徑為r，由量子 化條件可得 pr=nh，(n=1，2，3，) (5) 要使用軌道概

7、念來描速這樣的電子，必須 即 按測不準關系，有 Axr，App， _蘭鯉1 rp (6) (7) AxAprp rarp， 再利用量子化條件(5)得 Ax Ap 一_1一 (8) rl9 、一n 、 除非n1，否則(8)式與(7)式是矛盾的。上進分析表明，在原子中除非n1(對應原 理)，玻爾的軌道運動概念是不夠恰當?shù)摹?二、測不準關系的嚴格證明及討論 設A、B為體系的任意兩個力學量(用厄密算符表示)，妒為體系的任一個波面數(shù)。 合 A=、 ， =、 分別表示在妒態(tài)下力學量A與 的不確定度， 1 一一一 則 ABlA，曰f 證明：考慮含實參量 的積分 f， ，( )=I l A +iBqJI dr

8、-0 ， 為簡單起見，把它寫成內(nèi)積形式，即 ，( )=( A + B1【fr， 妒+ibm) = (A妒，Alp)+i (A ，B妒) 一i(BqJ，A妒)+(B ，B ) ) ) ) 9 3 ( ( ( 利用A與B的厄密性 ，( )= 。(1=fI，A )+ (妒，(ABBA) +( ，B ) = A + fA，B+B 舍 A，B=iC， (12) 則C為厄密算符，共平均值C為實數(shù)。達樣， ，( )=A 一C + 。 =-2( 一蘭一)十一B2一一C24一A20 ，廠 、O 、 2A 因 為任意實數(shù)，不妨取 =C23 ， (13) 則 曰。一C 4A 0，或 A B Jkc 一 1一一 所以

9、 _ l2、 一 A，引I (14) 上式對任意厄密算符A與日均成立。由于A與B均為厄密算符，所以A與B為實數(shù)，因而， A=AA，B=BB， (15) 也是厄密算符。此外， A，曰=A，馴 (16) 因此， 關系式(14)對A B也適用，即 ， i _l_一I _I (1 7，) 這就是測不準關系的嚴格證明。平常為了簡單，把測不準關系寫成 1一一一 ABlA，Bf (17 ) 厶 達個嚴格證明的重要性并不在它本身，而是在于通過它更準確地理解測不雀關系O通過 以上的證明，我們可以注意到下列一些問題： (1)測不準關系是對同一時刻的A與B而言。用某個時刻的A和另一時刻的 B來討論它們是否滿足測不準

10、關系是沒有意義的。例如說，在t 時剝測準了A，IIIAA= 0，而在tz時刻測準了曰，即B=0，因而就說： “測不準關系有問題”，這樣的論證 是完全錯誤的。 (2)設體系有兩個力學量A與B，滿足關系A，B=0，則體系有可能存在這樣的 狀態(tài)，使AB=0，即兩個力學量同時具有確定值。達種態(tài)就是兩個力學量A與B的共 同本征態(tài)。但達并不是說在一切狀態(tài)下兩個力學量都能同時具有確定值。在一般狀態(tài)下， AB0。 反之，若f A，B 0，是否可以說A B就不能同時具有確定值?回答是：不一定。因 為，雖然A，B 0，也可能存在某些特殊的狀態(tài)，使A，日=0，從而可能使A 4 B=0，即A和B同時具有確定值。例如在

11、中心力場中的S態(tài)(1-O)，z 、z 與f。都同 時具有確定值(零)。當然，在一般情況下，它們不能同時具有確定值。因為f ，f = illl ，即使在m-0的狀態(tài)中 Z ，f =0，使得f l 0，但井不足以保證X eAl =0 事實上，在z。的本征狀態(tài)中，容易證明z。=z =0。因此， f z；=z f：io。但除 l-o的態(tài)之外，等號不能成立。例如在(Z ，f )的共同本征態(tài)y。 中， Z。 = 、 = 2 。 f(+1)一m ，即 m-O，z z 也不為0(除非=o)。 (3)若C為非零的常數(shù)，則A與B肯定不能同時測準的，即一定不能具有共同本征 態(tài)。例如A=x，B-p。，按 ，P =ih

12、，即C=n。所以 與P 不能同時測準，而應滿足 n Ap。 。 我們試問，在什么狀態(tài)下 Ap 可以達到它的最小限值(h2)?此時波面數(shù)是什 么形式?達很容易從測不準關系的證明中看出。按(11)式，當而且只當波函數(shù)1fr滿足 A妒+iBO-0，或By=ifA (18) 時，測不準關系中等號成立。 合A= ，B=P 一p 代入式(18)，可得 丟 =一( 一 ) + 魯 (19) 積分后得： ( )：Ne一備( 一 共中N為歸一化常數(shù)，由 。虻 可以取 (20) (2O)式就是flAxp取最小值的波函數(shù)的一般形式(高斯波色)。波函數(shù)中的實參數(shù) 由波包寬度r=v 確定，即 一_) =INI z e一

13、 =f N I z 1、兀 ( h)。2： 1導 所以 =齋 (22) 達值與(13)式一致。這樣我們就得出 Ap取最小值(= )的波函數(shù)的一般形式： )=( ) 一 +卓 這里的論證與LISchiff，Q 4 lm Mbagi cs(第3版，1968)P61的論證略有不同。 (23) 5 一h 一丌 N Il 一 旆 q) 、 一ll N 而 I妒( )l。=(一 ) 。一引 F 2(高斯渡包)。 (4)在嚴格證明測 準關系的推導中，所用的A與B是定義于同一個函數(shù)集上的厄密 箅符，或者說假定r A 0 B是在同一個希爾伯特(Hilbert)空間中定義的厄密算符。如果 不注意達點，就會得lj錯

14、誤的結(jié)論。 例如，對于繞2軸的轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)角：妒，角動量：fz=一ih 于是何人給 ： f 一 達結(jié)論町能有 題。因為，f；=一ih 只是在 周期為23r的函數(shù)集I=fI( )所張開的空間中才是厄密 算符。而 并非這一組函數(shù)集上的算符，因為 ( )不：阿是周期兩數(shù)，已 屬于達兩數(shù)集所張開 的空間。 為此，有人曾經(jīng)想辦法補救，即用 的一個州 期函數(shù)代替99。例如(見圖2) l 學) (24) 療 。 。 7 一丌 +， +丌I 一萬 一 ( )=( 一2七兀)，(2七一1)兀D(2七十1)丌 =0，1，2， 圖2 (25) 容易證明 ： f ，f j=in!l一2re6( 一(2n+1)丌) (26

15、) =一 王有人建議不用99， 用sin 或COS 作為有關的算符。 利用 fsin ，2 J=ih C05 fCOSD，f2=ih sin9 ： 一 2 竿cos 9 ( 一 sin e 術 米 術 (27) 對測f 準關系 Pxh ，如果儀從統(tǒng)計意義上去理解，即從已知的妒去驗證測 準關系，=Jji；么，它的光輝就人為遜色。測不準關系的重要性，在于它指明r經(jīng)典力學中的力 學量概念在微觀世界的適用程度；或者說，在微觀世界中使用經(jīng)典粒子的慨念有一個限度。 6 ) 例如見LISchiff，Q 4 m M e chanics(第三版，1968)，P8。 DJudgejTLewis，Pby L el1

16、5(1963)，190 1Susskind&jGlogowe r，P6y si 1(1964)，49。 ，PCarruthers and MMNieto，Retl，lviod，Phy s，40(1968)，41l。 這個限度用普朗克常數(shù)h采表征。當h一0時，量子力學將 到經(jīng)典力學，或者說量子效應 可以忽略。測不準關系常常可以用來定性地估計體系的主要特征，而并不需要事先知道波 數(shù)I=f及哈密頓量H的具體形式。 例1 零點能 如果一個粒子局限于有限的窒間內(nèi)運動(即粒子處于束縛態(tài))，則最低能最并不為零， 這就是零點能。達可以從物質(zhì)的波動粒子兩重性來理解。因為靜止的波是沒有意義的， 因而完全靜止的粒子狀態(tài)也是溲有意義的。 ，0，f f口 P =0 因此，按測不準關系得 = a ， 蘆；一h 2 。p h 4 p h 4a 而粒子能量E百=嘉 一。 例2氫原子的穩(wěn)定性 氫原子核對電子的庫侖吸引能為U=一e。r從勢能來看，r越小， 電子運動越穩(wěn)定。 氫原子能量是否有下界?考慮測不準關系后可給予回答。設電子局限于牛徑為r。的球內(nèi)運 動，則 ro，因此phro，即使電子動量平均值p=0，電子動能也不為