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1、第五節(jié) 無窮小與無窮大一、無窮小二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系四、小結(jié)1一、無窮小1、定義、定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.2例如例如,注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).32、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性充分性充分性4意義意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小無窮小);3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍有限個(gè)

2、無窮小的代數(shù)和仍是無窮小是無窮小.證證5注意注意無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.6定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證7推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小都是無窮小8二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.9特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大注意

3、注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是但是無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.10不是無窮大不是無窮大無界，無界，11證證12三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證證13意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論小的討論.14四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。o窮小（大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小；無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小；（3）無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.15思考題思考題16思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例有有17一、填空題一、填空題:練練 習(xí)習(xí) 題題18練習(xí)題答案練習(xí)題答案19