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1、引力機械能守恒定律在各慣性系都成立 劉明成 (河北師范大學 河北石家莊 0 5 0 0 9 1 ) 劉文芳 (吉林師范大學 吉林四平 1 3 6 0 0 0 ) 趙文桐 (河南師范大學 河南新鄉(xiāng) 4 5 3 0 0 7 ) (收稿日期: 2 0 1 5 0 3 3 0 ) 摘要:討論了萬有引力機械能守恒定律在各慣性系都成立的問題. 關鍵詞:動能 勢能 機械能 伽利略變換 1 引言 在經典力學的教學中,我們實際遇到的保守力 只有3種,即重力、彈簧彈性力和萬有引力.對應的 勢能也只有3種,重力勢能、彈性勢能和引力勢能. 對應的機械能守恒定律也只有3種,重力機械能守 恒定律、彈力機械能守恒定律和引力

2、機械能守恒定 律.重力機械能守恒定律在各慣性系都成立的問題, 文獻 1 已經講明白了.彈力機械能守恒定律在各 慣性系都成立的問題,文獻 2 已經講清楚了.本文 討論引力機械能守恒定律在各慣性系都成立的問 題. 當討論萬有引力機械能守恒定律是否在各慣性 系都成立的問題時,大家所舉的例子都是“地太” 系統(tǒng),即以地球繞太陽運動為例.以往大家都認為這 是個兩體問題.作為兩體問題,由于太陽相對兩體質 心會有微小的加速度,由此認為日心坐標系不是嚴 格的慣性系,僅當假定太陽質量無窮大時,日心坐標 系才是嚴格的慣性系 3 , 4 . 困擾力學教學界幾十年的這個問題,其實也是 質點力學問題,并不是兩體問題.我們

3、簡單地說說我 們的理由.從宏觀角度看,太陽系包括太陽本身和九 大行星及無數的小行星,冥王星軌道外還有星云帶, 不知這個帶有多寬多密.因此太陽系是一個“質點 數”尚不知道的質點組,太陽正是占據這個“質點 組”的“質心”位置.當質點組沒有外力作用時,其質 心靜止或做慣性運動,因此質心坐標系是嚴格的慣 性系.天體力學家總是認為恒星坐標系為慣性系,就 是這個道理.如果我們再忽略非保守力所做的功,那 么按照柯尼希定理 5 ,所有行星都“各行其道” ,繞日 心在自己的橢圓軌道上運行,其軌道角動量守恒,軌 道運動機械能守恒.行星軌道運動的機械能守恒定 律可以統(tǒng)一寫成 1 2mv 2-GMm r=E( 1 )

4、 Ek (t)+Ep (t)=E( 2 ) 其中v為t時刻在日心系行星軌道速度矢量的模 量,m為行星質量,r為t時刻行星坐標矢量的模量, M為太陽系總質量而非太陽質量,G為萬有引力常 量,E(E 0 )為行星軌道運動的機械能,是個常量, 即 E=-GMm2a a為橢圓運動軌道的半長軸. 2 引力機械能守恒定律在各慣性系都成立 為了說明地球繞日軌道運動的機械能守恒定律 在各慣性系都成立,我們選擇相對日心勻速直線運 動的宇宙飛船系為另一個慣性系. 321 2 0 1 5年第6期 物理通報 物理問題討論 x=x+ut y=y t= t 為簡潔明白,我們采用矢量式坐標變換關系,并 假定飛船速度u在地球

5、軌道平面內沿x軸方向,t=0 時兩坐標系原點重合,t=0時地球過近日點,如圖1 所示. 圖1 r=r+ut dr=dr+udt v=v+u a=a f=f 全部采用矢量運算,按定義,t時刻在日心系地 球動能、勢能和機械能分別為 Ek=12mv2 ( 3 ) Ep= dEp=-f dr= GMmr2 dr=-GMmr( 4 ) Ep (t)+Ek (t)=12mv2 GMmr=E( 5 ) 式( 5 )即地球軌道運動的機械能守恒定律,即式 ( 1 ). 在宇宙飛船系,t時刻地球的動能、勢能和機械 能分別為 Ek (t)=12mv2=12m(v-u) 2= 1 2mv 2-mvu+1 2mu 2

6、( 6 ) dEp=-f dr=-f dr+fudt= GMm r2 dr+ mdv dtudt= GMm r2 dr+mu dv Ep=GMmr2 dr+mu dv= -GMmr+mvu( 7 ) Ep (t)+Ek (t)= 12mv2-GMmr+12mu2=E( 8 ) 式( 5 )和式( 8 )比較可見,地球(質點)機械能守 恒定律在各慣性系都成立. 3 結語 ( 1 )引力機械能守恒定律在各慣性系都成立. 這就等于說,引力機械能守恒定律滿足力學相對性 原理;引力機械能守恒定律經伽利略變換形式不變; 引力機械能守恒定律具有伽利略(非洛倫茲)協(xié)變 性. ( 2 )系統(tǒng)機械能守恒定律成立的

7、條件并不像文 獻 6 說的那樣錯綜復雜,而是非常簡單明確的 僅當不存在任何非保守力作用或非保守力所 做之功可以忽略時,我們才可以認為系統(tǒng)的機械能 是守恒的. ( 3 )什么是“系統(tǒng)” ? “系統(tǒng)”就是研究對象,不 是參考系.系統(tǒng)可以是質點組,也可以是質點.例如 研究自由落體問題時,研究對象就是落體,系統(tǒng)不包 括參考物地球.當我們研究彈簧振子問題時,系統(tǒng)就 是彈簧加小球,不包括參考物地球或小車.當我們研 究地球軌道運動時,系統(tǒng)就是地球(質點) ,不包括參 考物太陽. 參考文獻 1 趙文桐,劉文芳,劉明成.重力機械能守恒定律在各慣性 系都成立.物理通報, 2 0 1 5 ( 3 ) : 9 69 8 2 李學生,師教民.對一道中學生物理競賽試題答案的商 榷.物理通報, 2 0 1 4 ( 9 ) : 1 1 91 2 0 3 蔡伯濂.關于力學相對性原理與機械能守恒的來稿綜 述.大學物理, 1 9 9 4 ( 1 ) : 2 02 2 4 白靜江.兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律.大 學物理, 1 9 9 7 ( 3 ) : 1 11 4 5 周衍柏.理論力學教程(第二版).北京:高等教育出版 社, 1 9 8 5.1 2 7 6 高崇伊.機械能守恒定律成立的條件.物理通報, 2 0 0 6 ( 5 ) : 5 85 9 421 2 0 1 5年第6期 物理通報 物理問題討論